No cálculo do tamanho mínimo de uma amostra a ser coletada, qual a razão da relação entre o resultado e:
a) O tamanho da população, ser inversa em termos relativos?
b) O nível de significância, ser inverso?

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos entender o comportamento do tamanho mínimo de amostra em dois pontos: o tamanho da população N e o nível de significância \alpha. Para estimar proporções (ou médias) com erro máximo E e confiança 1-\alpha, o tamanho de amostra para população infinita é
n_0 = \frac{z_{1-\alpha/2}^2\,p(1-p)}{E^2}.
Quando a população é finita de tamanho N, aplica-se a correção finita:
n = \frac{N \, n_0}{N + n_0 - 1}.
Vamos analisar como n varia em função de N e de \alpha.

Passo 2

Na fórmula
n = \frac{N\,n_0}{N + n_0 - 1},
para n_0 fixo, se N aumenta o denominador cresce e faz n se aproximar de n_0. Em termos relativos,
\frac{n}{N} =\frac{n_0}{N + n_0 - 1},
que tende a zero quando N\to\infty. Ou seja, conforme a população cresce, a fração amostral \frac{n}{N} diminui — daí a relação inversa em termos relativos entre o tamanho da população e o tamanho de amostra.

Passo 3

Na expressão de n_0
n_0 = \frac{z_{1-\alpha/2}^2\,p(1-p)}{E^2},
o valor crítico z_{1-\alpha/2} aumenta quando \alpha diminui (isto é, queremos mais confiança). Como n_0 é proporcional a z_{1-\alpha/2}^2, reduzir \alpha (nível de significância menor) eleva z e, portanto, aumenta n_0. Isso mostra a relação inversa entre \alpha e o tamanho da amostra.

Resposta

a) Porque, com a correção para população finita \;n=\frac{N\,n_0}{N+n_0-1},
o quociente \frac{n}{N} decresce à medida que N cresce, fazendo a fração amostral cair. Portanto, em termos relativos, n se relaciona inversamente a N.
b) Porque no cálculo de n_0 surge o quantil z_{1-\alpha/2}, que aumenta quando \alpha diminui; como n_0\propto z_{1-\alpha/2}^2, reduzir \alpha eleva z e, consequentemente, o tamanho da amostra.

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