Para o cálculo da variação de entalpia, adote:
h_{2}-h_{1}=c_{p}\left(T_{2}-T_{1}\right)
Para o cálculo da variação de energia interna, adote:
\tilde{u}_{2}-\tilde{u}_{1}=c_{v}\left(T_{2}-T_{1}\right)
Calcule o calor específico na temperatura média entre a entrada \left(T_{1}\right) e a saída \left(T_{2}\right).
Um compressor a ar adiabático, opera em regime permanente e possui uma vazão mássica de 0,1 \mathrm{kg} / s. Na entrada, o ar está a 300 K e a 100 kPa e na saída, o ar está a 446 K e a 400 kPa . Os efeitos de energia cinética e potencial podem ser desprezados e o ar é um gás ideal.
Determine:
a) a vazão volumétrica na entrada, em \mathrm{m}^{3} / s;
b) a vazão volumétrica na saída, em \mathrm{m}^{3} / s;
c) a potência do compressor, em kW.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede três grandezas:
  • Vazão mássica: \dot{m}=0{,}1\\ \mathrm{kg/s}.
  • Entrada: T_{1}=300\\ \mathrm{K}, p_{1}=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Saída: T_{2}=446\\ \mathrm{K}, p_{2}=400\\ \mathrm{kPa}.
  • Adotar as relações \;h_{2}-h_{1}=c_{p}(T_{2}-T_{1})\; e \;\tilde{u}_{2}-\tilde{u}_{1}=c_{v}(T_{2}-T_{1})\;.
  • Desprezar energia cinética e potencial; ar ideal; compressor adiabático em regime permanente.
Perguntas:
a) Calcular a vazão volumétrica na entrada (em \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}).
b) Calcular a vazão volumétrica na saída (em \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}).
c) Determinar a potência do compressor (em kW).

Passo 2

Vamos calcular o calor específico na temperatura média entre entrada e saída. Primeiro a temperatura média:
T_{\text{m}}=\frac{T_{1}+T_{2}}{2}=\frac{300+446}{2}=373\\ \mathrm{K}.
Para o ar, considerando-o como gás ideal diatômico (aproximação usual em termodinâmica de engenharia) podemos usar a relação entre as capacidades:
c_{p}=c_{v}+R,
onde R é a constante específica do ar. Para ar seco temos
R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Na aproximação de gás diatômico com graus de liberdade rotacionais ativos, toma-se c_{v}=\tfrac{5}{2}R e portanto
c_{p}=\frac{7}{2}R=\;3{,}5\,R.
Calculando numericamente:
c_{p}=3{,}5\cdot 287=1004{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\approx1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Comentário didático: c_{p} varia pouco na faixa 300\text{–}450\\ \mathrm{K}, então tomar c_{p}=1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (ou 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}) é uma boa aproximação. Aqui reportamos o valor na temperatura média \;T_{\text{m}}=373\\ \mathrm{K}\; como pedido:
c_{p}(T_{\text{m}})\approx1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 3

Agora calculamos a vazão volumétrica na entrada. Usamos a equação de estado do gás ideal para obter o volume específico v:
v=\frac{R\,T}{p}.
Explicando: v é o volume por unidade de massa ( \mathrm{m^{3}/kg}), R é a constante específica ( \mathrm{J/(kg\cdot K)}), T a temperatura em \mathrm{K} e p a pressão em \mathrm{Pa}. Atenção às unidades: vou passar p para Pascals ( 1\\ \mathrm{kPa}=1000\\ \mathrm{Pa}).
Para a entrada:
v_{1}=\frac{R\,T_{1}}{p_{1}}=\frac{287\cdot 300}{100\,000}=\frac{86\,100}{100\,000}=0{,}861\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
A vazão volumétrica é \dot{V}_{1}=\dot{m}\,v_{1}. Assim:
\dot{V}_{1}=0{,}1\cdot 0{,}861=0{,}0861\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Breve comentário prático: com \dot{m}=0{,}1\\ \mathrm{kg/s} cada 1 kg ocuparia 0{,}861\\ \mathrm{m^{3}}, portanto 0,1 kg/s dá 0,0861 m^3/s.

Passo 4

Calculamos a vazão volumétrica na saída usando a mesma fórmula do gás ideal.
Volume específico na saída:
v_{2}=\frac{R\,T_{2}}{p_{2}}=\frac{287\cdot 446}{400\,000}=\frac{128\,002}{400\,000}=0{,}320005\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
Vazão volumétrica:
\dot{V}_{2}=\dot{m}\,v_{2}=0{,}1\cdot 0{,}320005=0{,}0320005\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Arredondando sensatamente: \dot{V}_{2}\approx0{,}0320\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 5

Agora a potência do compressor. Para um compressor adiabático em regime permanente, com desprezo de energia cinética e potencial, o balanço de energia em regime estacionário diz que a potência mecânica fornecida ao fluido (taxa de trabalho) é igual à vazão mássica vezes a variação de entalpia:
\dot{W}=\dot{m}\,(h_{2}-h_{1}).
Usando a relação fornecida \;h_{2}-h_{1}=c_{p}(T_{2}-T_{1})\;, temos
\dot{W}=\dot{m}\,c_{p}\,(T_{2}-T_{1}).
Substituindo números (usar c_{p}=1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}):
T_{2}-T_{1}=446-300=146\\ \mathrm{K},
\dot{W}=0{,}1\cdot 1005\cdot 146=0{,}1\cdot 146{,}730=14{,}673\\ \mathrm{W}.
Convertendo para kW:
\dot{W}\approx14{,}673\\ \mathrm{W}=14{,}673\\ \mathrm{kW}\times 10^{-3}\approx14{,}67\\ \mathrm{kW}.
Interpretação e sinal: este é o trabalho fornecido ao fluido; para o compressor isso significa que o eixo deve fornecer aproximadamente 14{,}67\\ \mathrm{kW} de potência (consumo).

Resposta

a) \dot{V}_{1}=0{,}0861\\ \mathrm{m^{3}/s}
b) \dot{V}_{2}=0{,}0320\\ \mathrm{m^{3}/s}
c) \dot{W}=14{,}67\\ \mathrm{kW}

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