#11) Três amostras de solo são submetidas às tensões apresentadas na tabela a seguir.
Amostra #1 #2 #3
\boldsymbol{\sigma}_{\mathbf{H}}\left(\mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}\right) 100 200 300
\boldsymbol{\sigma}_{\mathbf{V}}\left(\mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}\right) 400 600 800
\mathbf{u}\left(\mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}\right) 20 90 150
(a) Calcular a envoltória de resistência ao cisalhamento em termos de tensões totais;
(b) Determinar os parâmetros de resistência ao cisalhamento em termos de tensões totais;
(c) Calcular a envoltória de resistência ao cisalhamento em termos de tensões efetivas;
(d) Determinar os parâmetros de resistência ao cisalhamento em termos de tensões efetivas;
(e) Calcular as tensões ( \sigma e \tau ) nas três superfícies de ruptura.

Passo 1

O enunciado dá três amostras com as seguintes grandezas (peguei os valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{l|ccc} \text{Amostra} & 1 & 2 & 3\\hline \sigma_{H}\;(\mathrm{kN/m^{2}}) & 100 & 200 & 300\\\ \sigma_{V}\;(\mathrm{kN/m^{2}}) & 400 & 600 & 800\\\ u\;(\mathrm{kN/m^{2}}) & 20 & 90 & 150 \end{array}
As perguntas são:
(a) calcular a envoltória de resistência ao cisalhamento em termos de tensões totais;
(b) determinar os parâmetros de resistência ao cisalhamento em termos de tensões totais (isto é, c e \varphi em escala total);
(c) calcular a envoltória de resistência ao cisalhamento em termos de tensões efetivas;
(d) determinar os parâmetros de resistência ao cisalhamento em termos de tensões efetivas (isto é, c' e \varphi');
(e) calcular as tensões normal ( \sigma) e de cisalhamento ( \tau) nas três superfícies de ruptura.
Informações relevantes que usarei sem perguntar:
  • Tratarei \sigma_{V} como o maior esforço principal \sigma_1 e \sigma_{H} como o menor esforço principal \sigma_3 para cada amostra (interpretação usual em ensaios triaxiais/planos).
  • Para construir as circunferências de Mohr em tensões totais uso \sigma_1 e \sigma_3 diretamente.
  • Para construir as circunferências em tensões efetivas uso \sigma'_1=\sigma_1-u e \sigma'_3=\sigma_3-u.
  • A envoltória de resistência (Mohr–Coulomb) é uma reta do tipo \tau = c + \sigma \tan\varphi (total) ou \tau = c' + \sigma' \tan\varphi' (efetiva).
    Não começo a resolver aqui; só enumerei o que é pedido e os dados que vou usar.

Passo 2

Conceito e construção das circunferências de Mohr (aulas rápidas, passo a passo).
  • Para cada ensaio (cada amostra) temos dois esforços principais \sigma_1 (maior) e \sigma_3 (menor). A circunferência de Mohr correspondente tem centro
C=\frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}
e raio
R=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}.
Esses valores são em termos de tensões totais quando uso \sigma_1,\sigma_3 totais; em efetivas uso \sigma'_1,\sigma'_3.
  • A envoltória linear de Coulomb é uma reta \tau=a + b\,\sigma com a=c e b=\tan\varphi. Geometricamente ela é uma tangente comum por cima das circunferências de Mohr.
  • Condição matemática de tangência (útil para cálculo): para uma circunferência de centro C e raio R a reta \tau=a+b\sigma é tangente se vale
\bigl(a+bC\bigr)^2 = R^2\,(1+b^2).
Isto vem do fato de que a distância do centro à reta deve ser igual ao raio. Usarei essa relação para obter a e b a partir de duas circunferências (duas equações não lineares, que levam a fórmulas fechadas quando combinadas).
  • Passo prático: tomo duas circunferências (normalmente as externas) e uso a manipulação algébrica que leva à fórmula direta para b (slope = \tan\varphi):
b=\frac{R_2-R_1}{\sqrt{(C_2-C_1)^2-(R_2-R_1)^2}}.
Depois que b é conhecida, obtenho a por exemplo com
a = R_1\sqrt{1+b^2} - b\,C_1,
usando a primeira circunferência. (Explicação rápida: da tangência temos a+bC_i = R_i\sqrt{1+b^2}, i = 1,2.)
  • Com a e b sabemos a equação da envoltória. Para obter os pontos de tangência (as tensões normal e de cisalhamento na superfície de ruptura) em cada circunferência uso as fórmulas (derivadas geometricamente):
\sigma_n=\frac{C - a b}{1+b^2},\qquad \tau=\frac{a + bC}{1+b^2}.
Essas fórmulas fornecem o ponto (normal, cisalhamento) da tangência entre a reta e a circunferência de centro C e raio R.

Passo 3

Cálculo das circunferências de Mohr em tensões totais (aplico as fórmulas do passo anterior).
Para cada amostra (usei \sigma_1=\sigma_V e \sigma_3=\sigma_H):
Amostra 1:
\sigma_1=400,\;\sigma_3=100
C_1=\frac{400+100}{2}=250,\qquad R_1=\frac{400-100}{2}=150.
Amostra 2:
\sigma_1=600,\;\sigma_3=200
C_2=\frac{600+200}{2}=400,\qquad R_2=\frac{600-200}{2}=200.
Amostra 3:
\sigma_1=800,\;\sigma_3=300
C_3=\frac{800+300}{2}=550,\qquad R_3=\frac{800-300}{2}=250.

Passo 4

Encontrar a envoltória em termos de tensões totais (item a e b).
  • Uso as duas circunferências quaisquer; os dados são consistentes e qualquer par dá o mesmo resultado. Vou usar as amostras 1 e 2.
  • Calculo b=\tan\varphi com a fórmula:
b=\frac{R_2-R_1}{\sqrt{(C_2-C_1)^2-(R_2-R_1)^2}} =\frac{200-150}{\sqrt{(400-250)^2-(200-150)^2}} =\frac{50}{\sqrt{150^2-50^2}} =\frac{50}{\sqrt{20000}}=0,3535533906.
Logo
\varphi=\arctan(b)=\arctan(0,3535533906)\approx 19{,}471^\circ.
  • Agora a=c. Calculo s=\sqrt{1+b^2}=\sqrt{1+0{,}353553^2}=\sqrt{1{,}125}=1{,}0606601718. Então
a = R_1\,s - b\,C_1 =150\cdot 1{,}0606601718 - 0{,}3535533906\cdot 250 =70{,}71067812\;\mathrm{kN/m^2}.
Portanto a envoltória em tensões totais é
\tau = 70{,}71067812 + 0{,}3535533906\,\sigma.

Passo 5

Construção das circunferências de Mohr em tensões efetivas (preparo para (c) e (d)).
Subtraio a pressão de poro u de cada \sigma_1 e \sigma_3 para obter as tensões efetivas:
Amostra 1:
\sigma_1'=400-20=380,\quad \sigma_3'=100-20=80
C_1'=\frac{380+80}{2}=230,\quad R_1'=\frac{380-80}{2}=150.
Amostra 2:
\sigma_1'=600-90=510,\quad \sigma_3'=200-90=110
C_2'=\frac{510+110}{2}=310,\quad R_2'=\frac{510-110}{2}=200.
Amostra 3:
\sigma_1'=800-150=650,\quad \sigma_3'=300-150=150
C_3'=\frac{650+150}{2}=400,\quad R_3'=\frac{650-150}{2}=250.
Observação: os raios R_i' são iguais aos R_i porque a subtração de u cancela no diferencial \sigma_1-\sigma_3.

Passo 6

Encontrar a envoltória em termos de tensões efetivas (item c e d).
  • A prática usual é usar as circunferências externas (1 e 3) para definir a reta tangente efetiva (elas são as mais distantes e definem o envelope). Vou aplicar a fórmula entre as circunferências 1’ e 3’.
  • Calculo b'=\tan\varphi':
b'=\frac{R_3'-R_1'}{\sqrt{(C_3'-C_1')^2-(R_3'-R_1')^2}} =\frac{250-150}{\sqrt{(400-230)^2-(250-150)^2}} =\frac{100}{\sqrt{170^2-100^2}} =\frac{100}{\sqrt{18900}}.
Numericamente
b'\approx 0{,}7276068751.
\varphi'=\arctan(b')\approx 36{,}150^\circ.
  • Calculo a'=c'. Note uma simplificação algébrica útil: com os números acima obtemos a' = \dfrac{250}{\sqrt{189}} (fórmula reduzida). Numericamente,
a' \approx \frac{250}{\sqrt{189}}\approx 18{,}186\\ \mathrm{kN/m^2}.
  • Assim a envoltória em tensões efetivas (usando as circunferências 1’ e 3’) fica aproximadamente
\tau = 18{,}186 + 0{,}727607\,\sigma'.
(obs.: devido aos diferentes valores de u nas amostras, se usássemos outro par de círculos obteríamos números ligeiramente diferentes; a escolha das circunferências extremas (1 e 3) é a prática comum para definir o envelope efetivo externo).

Passo 7

Calcular as tensões normal ( \sigma) e de cisalhamento ( \tau) nas três superfícies de ruptura (item e).
  • Vou calcular as coordenadas do ponto de tangência entre a envoltória total (obtida no passo 4) e cada circunferência total, usando as fórmulas:
\sigma_n=\frac{C - a b}{1+b^2},\qquad \tau=\frac{a + bC}{1+b^2},
onde aqui a=70{,}71067812 e b=0{,}3535533906 (valores totais do passo 4), e 1+b^2=1{,}125.
  • Para a amostra 1 (centro C_1=250):
\sigma_{n1}=\frac{250 - 70{,}71067812\cdot 0{,}3535533906}{1{,}125} =\frac{250-25}{1{,}125}=\frac{225}{1{,}125}=200{,}000\\ \mathrm{kN/m^2}.
\tau_{1}=\frac{70{,}71067812 + 0{,}3535533906\cdot 250}{1{,}125} =\frac{159{,}09902577}{1{,}125}=141{,}4213562\\ \mathrm{kN/m^2}.
  • Para a amostra 2 (centro C_2=400):
\sigma_{n2}=\frac{400 - 70{,}71067812\cdot 0{,}3535533906}{1{,}125} =\frac{400-25}{1{,}125}=\frac{375}{1{,}125}=333{,}3333333\\ \mathrm{kN/m^2}.
\tau_{2}=\frac{70{,}71067812 + 0{,}3535533906\cdot 400}{1{,}125} =\frac{212{,}1320343}{1{,}125}=188{,}3778170\\ \mathrm{kN/m^2}.
  • Para a amostra 3 (centro C_3=550):
\sigma_{n3}=\frac{550 - 70{,}71067812\cdot 0{,}3535533906}{1{,}125} =\frac{550-25}{1{,}125}=\frac{525}{1{,}125}=466{,}6666667\\ \mathrm{kN/m^2}.
\tau_{3}=\frac{70{,}71067812 + 0{,}3535533906\cdot 550}{1{,}125} =\frac{265{,}1650439}{1{,}125}=235{,}4142773\\ \mathrm{kN/m^2}.

Resposta

(a) \displaystyle \tau = 70{,}71067812 + 0{,}3535533906\,\sigma.
(b) c=70{,}71067812\\ \mathrm{kN/m^{2}}
\;\;\;\;\varphi=\arctan(0{,}3535533906)\approx 19{,}471^\circ.
(c) \displaystyle \tau = 18{,}186 + 0{,}7276068751\,\sigma' (envoltória em tensões efetivas obtida usando as circunferências 1’ e 3’).
(d) c'\approx 18{,}186\\ \mathrm{kN/m^{2}}
\;\;\;\;\varphi'=\arctan(0{,}7276068751)\approx 36{,}150^\circ.
(e) Tensões nas superfícies de ruptura (em termos de tensões totais, pontos de tangência da envoltória total):
\sigma_{n1}=200{,}000\\ \mathrm{kN/m^{2}},\;\tau_{1}=141{,}4213562\\ \mathrm{kN/m^{2}}
\sigma_{n2}=333{,}3333333\\ \mathrm{kN/m^{2}},\;\tau_{2}=188{,}3778170\\ \mathrm{kN/m^{2}}
\sigma_{n3}=466{,}6666667\\ \mathrm{kN/m^{2}},\;\tau_{3}=235{,}4142773\\ \mathrm{kN/m^{2}}

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