#11) Três amostras de solo são submetidas às tensões apresentadas na tabela a seguir.
Amostra
#1
#2
#3
100
200
300
400
600
800
20
90
150
(a) Calcular a envoltória de resistência ao cisalhamento em termos de tensões totais;
(b) Determinar os parâmetros de resistência ao cisalhamento em termos de tensões totais;
(c) Calcular a envoltória de resistência ao cisalhamento em termos de tensões efetivas;
(d) Determinar os parâmetros de resistência ao cisalhamento em termos de tensões efetivas;
(e) Calcular as tensões (
e
) nas três superfícies de ruptura.
| Amostra | #1 | #2 | #3 |
|
|
100 | 200 | 300 |
|
|
400 | 600 | 800 |
|
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20 | 90 | 150 |
(b) Determinar os parâmetros de resistência ao cisalhamento em termos de tensões totais;
(c) Calcular a envoltória de resistência ao cisalhamento em termos de tensões efetivas;
(d) Determinar os parâmetros de resistência ao cisalhamento em termos de tensões efetivas;
(e) Calcular as tensões (
Passo 1
O enunciado dá três amostras com as seguintes grandezas (peguei os valores da tabela do enunciado):
As perguntas são:
(a) calcular a envoltória de resistência ao cisalhamento em termos de tensões totais;
(b) determinar os parâmetros de resistência ao cisalhamento em termos de tensões totais (isto é, e
em escala total);
(c) calcular a envoltória de resistência ao cisalhamento em termos de tensões efetivas;
(d) determinar os parâmetros de resistência ao cisalhamento em termos de tensões efetivas (isto é, e
);
(e) calcular as tensões normal ( ) e de cisalhamento (
) nas três superfícies de ruptura.
(a) calcular a envoltória de resistência ao cisalhamento em termos de tensões totais;
(b) determinar os parâmetros de resistência ao cisalhamento em termos de tensões totais (isto é,
(c) calcular a envoltória de resistência ao cisalhamento em termos de tensões efetivas;
(d) determinar os parâmetros de resistência ao cisalhamento em termos de tensões efetivas (isto é,
(e) calcular as tensões normal (
Informações relevantes que usarei sem perguntar:
- Tratarei
como o maior esforço principal e como o menor esforço principal para cada amostra (interpretação usual em ensaios triaxiais/planos). - Para construir as circunferências de Mohr em tensões totais uso
e diretamente. - Para construir as circunferências em tensões efetivas uso
e . - A envoltória de resistência (Mohr–Coulomb) é uma reta do tipo
(total) ou (efetiva).
Não começo a resolver aqui; só enumerei o que é pedido e os dados que vou usar.
Passo 2
Conceito e construção das circunferências de Mohr (aulas rápidas, passo a passo).
- Para cada ensaio (cada amostra) temos dois esforços principais
(maior) e (menor). A circunferência de Mohr correspondente tem centro
e raio
Esses valores são em termos de tensões totais quando uso
totais; em efetivas uso
.
- A envoltória linear de Coulomb é uma reta
com e . Geometricamente ela é uma tangente comum por cima das circunferências de Mohr. - Condição matemática de tangência (útil para cálculo): para uma circunferência de centro
e raio a reta é tangente se vale
Isto vem do fato de que a distância do centro à reta deve ser igual ao raio. Usarei essa relação para obter
e
a partir de duas circunferências (duas equações não lineares, que levam a fórmulas fechadas quando combinadas).
- Passo prático: tomo duas circunferências (normalmente as externas) e uso a manipulação algébrica que leva à fórmula direta para
(slope = ):
Depois que
é conhecida, obtenho
por exemplo com
usando a primeira circunferência. (Explicação rápida: da tangência temos
, i = 1,2.)
- Com
e sabemos a equação da envoltória. Para obter os pontos de tangência (as tensões normal e de cisalhamento na superfície de ruptura) em cada circunferência uso as fórmulas (derivadas geometricamente):
Essas fórmulas fornecem o ponto (normal, cisalhamento) da tangência entre a reta e a circunferência de centro
e raio
.
Passo 3
Cálculo das circunferências de Mohr em tensões totais (aplico as fórmulas do passo anterior).
Para cada amostra (usei e
):
Para cada amostra (usei
Amostra 1:
Amostra 2:
Amostra 3:
Passo 4
Encontrar a envoltória em termos de tensões totais (item a e b).
- Uso as duas circunferências quaisquer; os dados são consistentes e qualquer par dá o mesmo resultado. Vou usar as amostras 1 e 2.
- Calculo
com a fórmula:
Logo
- Agora
. Calculo Então
Portanto a envoltória em tensões totais é
Passo 5
Construção das circunferências de Mohr em tensões efetivas (preparo para (c) e (d)).
Subtraio a pressão de poro de cada
e
para obter as tensões efetivas:
Amostra 1:
Subtraio a pressão de poro
Amostra 1:
Amostra 2:
Amostra 3:
Observação: os raios
são iguais aos
porque a subtração de
cancela no diferencial
.
Passo 6
Encontrar a envoltória em termos de tensões efetivas (item c e d).
- A prática usual é usar as circunferências externas (1 e 3) para definir a reta tangente efetiva (elas são as mais distantes e definem o envelope). Vou aplicar a fórmula entre as circunferências 1’ e 3’.
- Calculo
:
Numericamente
- Calculo
. Note uma simplificação algébrica útil: com os números acima obtemos (fórmula reduzida). Numericamente,
- Assim a envoltória em tensões efetivas (usando as circunferências 1’ e 3’) fica aproximadamente
(obs.: devido aos diferentes valores de
nas amostras, se usássemos outro par de círculos obteríamos números ligeiramente diferentes; a escolha das circunferências extremas (1 e 3) é a prática comum para definir o envelope efetivo externo).
Passo 7
Calcular as tensões normal (
) e de cisalhamento (
) nas três superfícies de ruptura (item e).
- Vou calcular as coordenadas do ponto de tangência entre a envoltória total (obtida no passo 4) e cada circunferência total, usando as fórmulas:
onde aqui
e
(valores totais do passo 4), e
.
- Para a amostra 1 (centro
):
- Para a amostra 2 (centro
):
- Para a amostra 3 (centro
):
Resposta
(a)
.
(b)
.
(c)
(envoltória em tensões efetivas obtida usando as circunferências 1’ e 3’).
(d)
.
(e) Tensões nas superfícies de ruptura (em termos de tensões totais, pontos de tangência da envoltória total):