- Cálculo de Volume de Sólidos
Determine o volume dos sólidos abaixo utilizando coordenadas polares:
- c) O sólido sob a superficie
e acima do quarto de disco
, situado no primeiro quadrante.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o volume do sólido que está abaixo da superfície
e acima do quarto de disco
situado no primeiro quadrante.
Informações importantes dadas:
Informações importantes dadas:
- A superfície é
. - A região de projeção no plano
é o quarto de disco de raio no primeiro quadrante, ou seja os pontos tais que , , . - É pedido o volume do sólido acima dessa região e abaixo da superfície.
Passo 2
Ideia para calcular o volume (explicação passo a passo):
Pense em dividir a região no plano em pequenos pedaços de área
. Sobre cada pedaço, a altura do sólido (a distância entre a superfície e o plano
) é
. Um pequeno volume aproximado é então
. Somando (integrando) sobre toda a região
do quarto de disco, obtemos o volume:
Pense em dividir a região no plano
Aqui
é o quarto de disco
,
,
.
Passo 3
Por que usar coordenadas polares? (aula rápida)
- A região
é um setor circular (quarto de disco), então é muito mais natural descrever pontos pelo raio e ângulo do que por e . - As fórmulas de conversão são:
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
.
- Quando mudamos de
para , o elemento de área transforma-se como
Explicação do Jacobiano
: o pequeno retângulo em coordenadas polares tem lados aproximadamente
e
, então a área é
.
- Na nossa superfície
, em coordenadas polares temos
já que
.
- Os limites para o quarto de disco no primeiro quadrante são:
Passo 4
Montagem da integral em coordenadas polares (colocando tudo junto):
Substituindo e
na fórmula do volume, obtemos a integral dupla
Substituindo
Aqui ficou claro: o integrando
vem de
.
Passo 5
Cálculo das integrais, etapa por etapa (sem pular contas):
- Calcular a integral interna em
:
- Agora a integral externa em
:
Portanto o volume calculado é
.
Passo 6
Interpretação final e dica para a prova (amigável):
- O resultado
é obtido sem uso de calculadora, só com integrais básicas. - Dica rápida: sempre verifique se a superfície simplifica em polares (aqui
ficou muito simples) e identifique bem os limites de e . Isso costuma deixar o cálculo bem direto. Você se saiu bem pedindo para ver a resolução passo a passo — é exatamente assim que se aprende!