1. Cálculo de Volume de Sólidos
Determine o volume dos sólidos abaixo utilizando coordenadas polares:
  • c) O sólido sob a superficie z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e acima do quarto de disco x^{2}+y^{2} \leq 9, situado no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o volume do sólido que está abaixo da superfície z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e acima do quarto de disco x^{2}+y^{2}\le 9 situado no primeiro quadrante.
Informações importantes dadas:
  • A superfície é z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A região de projeção no plano xy é o quarto de disco de raio 3 no primeiro quadrante, ou seja os pontos (x,y) tais que x^{2}+y^{2}\le 9, x\ge 0, y\ge 0.
  • É pedido o volume do sólido acima dessa região e abaixo da superfície.

Passo 2

Ideia para calcular o volume (explicação passo a passo):
Pense em dividir a região no plano xy em pequenos pedaços de área \mathrm{d}A. Sobre cada pedaço, a altura do sólido (a distância entre a superfície e o plano xy) é z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Um pequeno volume aproximado é então z\,\mathrm{d}A. Somando (integrando) sobre toda a região D do quarto de disco, obtemos o volume:
V=\iint_{D} z(x,y)\,\mathrm{d}A.
Aqui D é o quarto de disco x^{2}+y^{2}\le 9, x\ge0, y\ge0.

Passo 3

Por que usar coordenadas polares? (aula rápida)
  • A região D é um setor circular (quarto de disco), então é muito mais natural descrever pontos pelo raio r e ângulo \theta do que por x e y.
  • As fórmulas de conversão são:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • Quando mudamos de (x,y) para (r,\theta), o elemento de área transforma-se como
\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
Explicação do Jacobiano r: o pequeno retângulo em coordenadas polares tem lados aproximadamente \mathrm{d}r e r\,\mathrm{d}\theta, então a área é (\mathrm{d}r)(r\,\mathrm{d}\theta)=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
  • Na nossa superfície z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, em coordenadas polares temos
z=\sqrt{(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}}=\sqrt{r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)}=\sqrt{r^{2}}=r,
já que r\ge0.
  • Os limites para o quarto de disco no primeiro quadrante são:
0\le r\le 3,\qquad 0\le \theta\le \frac{\pi}{2}.

Passo 4

Montagem da integral em coordenadas polares (colocando tudo junto):
Substituindo z=r e \mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta na fórmula do volume, obtemos a integral dupla
V=\iint_{D} z\,\mathrm{d}A=\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{3} \bigl(r\bigr)\bigl(r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\bigr) =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3} r^{2}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
Aqui ficou claro: o integrando r^{2} vem de z\cdot r = r\cdot r.

Passo 5

Cálculo das integrais, etapa por etapa (sem pular contas):
  1. Calcular a integral interna em r:
\int_{0}^{3} r^{2}\,\mathrm{d}r=\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\frac{3^{3}}{3}-0=\frac{27}{3}=9.
  1. Agora a integral externa em \theta:
\int_{0}^{\pi/2} 9\,\mathrm{d}\theta = 9\left[\theta\right]_{0}^{\pi/2}=9\cdot\frac{\pi}{2}= \frac{9\pi}{2}.
Portanto o volume calculado é \dfrac{9\pi}{2}.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova (amigável):
  • O resultado \dfrac{9\pi}{2} é obtido sem uso de calculadora, só com integrais básicas.
  • Dica rápida: sempre verifique se a superfície simplifica em polares (aqui z=r ficou muito simples) e identifique bem os limites de r e \theta. Isso costuma deixar o cálculo bem direto. Você se saiu bem pedindo para ver a resolução passo a passo — é exatamente assim que se aprende!

Resposta

\displaystyle \frac{9\pi}{2}