Achar as derivadas de segunda ordem das seguintes funções:
667. y=x^{8}+7 x^{6}-5 x+4 . \quad 668. y=e^{x^{2}}.
669. y=\operatorname{sen}^{2} x . \quad 670. y=\ln \sqrt[3]{1+x^{2}}.
671. y=\ln \left(x+\sqrt{\left.a^{2}+x^{2}\right)} . \quad\right. 672. f(x)=\left(1+x^{2}\right) \operatorname{arctg} x.
673. y=(\operatorname{arcsen} x)^{2}.
674. y=a \operatorname{cosh} \frac{x}{a}.
675. Demonstrar que a função y=\frac{x^{2}+2 x+2}{2} satisfaz a equação diferencial 1+y^{\prime 2}=2 y y^{\prime \prime}.
676. Demonstrar que a função y=\frac{1}{2} x^{2} e^{x} satisfaz a equação diferencial y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{x}.
677. Demonstrar que a função y=C_{1} e^{-x}+C_{2} e^{-2 x} para qualquer valor das constantes C_{1} e C_{2} satisfaz a equação:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: de 667 a 674, calcular a derivada segunda de cada função; de 675 a 677, mostrar que funções dadas satisfazem certas equações diferenciais. Para isso vamos usar as regras de derivação: potência, produto, quociente e cadeia, além das derivadas de e^x, \ln x, \operatorname{sen} x, \arctan x, \arcsin x, \operatorname{cosh} x e \operatorname{sinh} x.

Passo 2

Para 667, y=x^8+7x^6-5x+4. Aplicando a regra da potência:
y'=8x^7+42x^5-5,
y''=56x^6+210x^4.
Para 668, y=e^{x^2}. Pela cadeia, y'=2x e^{x^2}. Diferenciando de novo:
y''=2e^{x^2}+4x^2e^{x^2}=(2+4x^2)e^{x^2}.

Passo 3

Para 669, y=\operatorname{sen}^2 x. Pela cadeia,
y'=2\operatorname{sen} x\cos x=\sen2x,
y''=2\cos2x.
Para 670, y=\ln\sqrt[3]{1+x^2}=\tfrac{1}{3}\ln(1+x^2). Então
y'=\frac{2x}{3(1+x^2)},
e
y''=\frac{2(1 - x^2)}{3(1+x^2)^2}.

Passo 4

Para 671, y=\ln\bigl(x+\sqrt{a^2+x^2}\bigr). Usa-se derivada de \ln e da raiz:
y'=\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}},
y''=-\frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}}.
Para 672, f(x)=(1+x^2)\arctan x. Pela regra do produto:
f'=2x\arctan x+1,
f''=2\arctan x+\frac{2x}{1+x^2}.

Passo 5

Para 673, y=(\operatorname{arcsen} x)^2. Pela cadeia e produto:
y'=2\arcsin x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},
y''=2\Bigl(\frac{1}{1-x^2}+\frac{x\,\arcsin x}{(1-x^2)^{3/2}}\Bigr).
Para 674, y=a\operatorname{cosh}\frac{x}{a}. Tem-se
y'=\operatorname{sinh}\frac{x}{a},
y''=\frac{1}{a}\operatorname{cosh}\frac{x}{a}.

Passo 6

Para 675, y=\frac{x^2+2x+2}{2}. Então
y'=x+1,\quad y''=1.
Verifica-se
1+(y')^2=1+(x+1)^2=x^2+2x+2,
2y\,y''=2\cdot\frac{x^2+2x+2}{2}\cdot1=x^2+2x+2,
logo coincide.

Passo 7

Para 676, y=\tfrac12x^2e^x. Calcula-se
y'=xe^x+\tfrac12x^2e^x,\quad y''=e^x(1+x)+xe^x+\tfrac12x^2e^x=e^x\Bigl(\tfrac12x^2+2x+1\Bigr).
Então
y''-2y'+y =e^x\Bigl(\tfrac12x^2+2x+1\Bigr)-2e^x\Bigl(x+\tfrac12x^2\Bigr)+\tfrac12x^2e^x =e^x.

Passo 8

Para 677, y=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}. Derivando:
y'=-C_1e^{-x}-2C_2e^{-2x},\quad y''=C_1e^{-x}+4C_2e^{-2x}.
Logo
y''+3y'+2y =(1-3+2)C_1e^{-x}+(4-6+2)C_2e^{-2x}=0.

Resposta

  1. y''=56x^6+210x^4.
  2. y''=(2+4x^2)e^{x^2}.
  3. y''=2\cos2x.
  4. y''=\displaystyle\frac{2(1-x^2)}{3(1+x^2)^2}.
  5. y''=-\displaystyle\frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}}.
  6. f''=2\arctan x+\displaystyle\frac{2x}{1+x^2}.
  7. y''=2\Bigl(\frac{1}{1-x^2}+\frac{x\,\arcsin x}{(1-x^2)^{3/2}}\Bigr).
  8. y''=\displaystyle\frac{1}{a}\operatorname{cosh}\frac{x}{a}.
  9. Verificado que 1+(y')^2=2yy''.
  10. Verificado que y''-2y'+y=e^x.
  11. Verificado que y''+3y'+2y=0.