1. Achar \frac{d z}{d t}, se
z=\frac{x}{y}, \text { onde } x=e^{t}, y=\ln t

Passo 1

O enunciado pede para calcular \frac{dz}{dt} quando
z = \frac{x}{y},\quad x = e^t,\quad y = \ln t.
O conteúdo que vamos usar é a regra do quociente para derivadas, junto com a regra da cadeia para derivar e^t e \ln t.

Passo 2

Calculamos as derivadas de x e y em relação a t:
x' = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(e^t\bigr) = e^t, \qquad y' = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(\ln t\bigr) = \frac{1}{t}.

Passo 3

Pela regra do quociente, se z = \frac{x}{y} então
\frac{dz}{dt} = \frac{x'\,y - x\,y'}{y^2}.

Passo 4

Substituindo x, y, x' e y' na fórmula:
\frac{dz}{dt} = \frac{e^t\cdot(\ln t) - e^t\cdot\frac{1}{t}}{(\ln t)^2} = \frac{e^t\bigl(\ln t - \tfrac{1}{t}\bigr)}{(\ln t)^2}.

Resposta

\frac{dz}{dt} = \frac{e^t\bigl(\ln t - \tfrac{1}{t}\bigr)}{(\ln t)^2}.