Achar por integração a área da superfície de uma esfera gerada pela revolução do círculo x^{2}+y^{2}=r^{2} em torno de um diâmetro. Resp. \quad 4 \pi r^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar por integração a área da superfície de uma esfera de raio r gerada ao revolver o semicírculo dado por
x^{2}+y^{2}=r^{2},\quad y\ge0,
em torno do eixo x. Vamos usar a fórmula de área de superfície de revolução:
S = 2\pi \int_{a}^{b} y\,\sqrt{1+\bigl(y'\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Do círculo temos a função que descreve o semicírculo superior:
y = \sqrt{r^{2}-x^{2}},\quad -r\le x\le r.
Derivando em relação a x:
y' = \frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{r^{2}-x^{2}}\bigr) = -\frac{x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}.

Passo 3

Calculamos o elemento de arco
ds = \sqrt{1+(y')^{2}}\;dx = \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}\;dx = \sqrt{\frac{r^{2}}{r^{2}-x^{2}}}\;dx = \frac{r}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\;dx.

Passo 4

Substituindo y e ds na fórmula de área:
S = 2\pi \int_{-r}^{r} y\,ds = 2\pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^{2}-x^{2}}\;\frac{r}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\;dx = 2\pi r \int_{-r}^{r} dx.

Passo 5

A integral é trivial:
\int_{-r}^{r} dx = 2r,
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S = 2\pi r \cdot 2r = 4\pi r^{2}.

Resposta

4\pi r^{2}