Achar o inteiro positivo da forma 2.15^m 7^n e que admite 36 divisores positivos.

Passo 1

O enunciado pede um inteiro positivo da forma
N = 2 cdot 15^m cdot 7^n
que tenha exatamente 36 divisores positivos.
O conteúdo aqui é a fórmula do número de divisores de um inteiro em termos de sua fatoração prima.

Passo 2

Observe que 15 = 3cdot5, logo
N = 2^1 cdot 3^m cdot 5^m cdot 7^n

Passo 3

Seja d(N) o número de divisores de N. Pela fórmula de número de divisores,
d(N) = (1+1),(m+1),(m+1),(n+1) = 2,(m+1)^2,(n+1)
Queremos d(N)=36, então
2,(m+1)^2,(n+1) = 36 Longrightarrow (m+1)^2,(n+1) = 18

Passo 4

Fatoramos 18 e buscamos (m+1)^2 divisor de 18 com m,n>=1:
  • Se m+1=1 então m=0 (descartado pois queremos m>=1).
  • Se m+1=2 então (m+1)^2=4 e n+1=18/4=4,5 (não inteiro).
  • Se m+1=3 então (m+1)^2=9 e n+1=18/9=2, o que dá m=2 e n=1.

Passo 5

Com m=2 e n=1,
N = 2 cdot 15^2 cdot 7^1 = 2 cdot 225 cdot 7 = 3150

Resposta

3150