Achar a pendente média da curva y=f(x) no segmento [x, x+\Delta x].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inclinação média (ou pendente média) da curva y=f(x) no intervalo [x,\;x+\Delta x]. Isso é o conteúdo de taxa de variação média, que nada mais é que a razão entre a variação de y e a variação de x nesse pedaço da curva.

Passo 2

Para achar a inclinação de uma reta secante que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x+\Delta x,f(x+\Delta x)), usamos a definição de inclinação de reta:
\text{inclinação} = \frac{\Delta y}{\Delta x}.çã

Passo 3

No nosso caso, a variação de y ao ir de x até x+\Delta x é
\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x),
e a variação de x é
\Delta x = (x+\Delta x) - x = \Delta x.

Passo 4

Substituindo essas variações na fórmula da inclinação, obtemos
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}.

Resposta

\boxed{\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}