Achar as soluções inteiras e positivas da equação x^2-y^2=499.

Passo 1

O enunciado pede as soluções inteiras e positivas da equação
x^2-y^2=499
O conteúdo principal aqui é a fatoração de diferença de quadrados e a análise dos divisores de 499.

Passo 2

Fatorando o lado esquerdo, temos
x^2-y^2=(x-y)(x+y)
Logo, devemos encontrar inteiros positivos a e b tais que
a = x-y, b = x+y, ab = 499

Passo 3

Como 499 é primo, seus divisores positivos são apenas 1 e 499. As únicas possibilidades para (a,b) são:
1. a=1 e b=499. Somando as equações
a+b = (x-y)+(x+y) = 2x = 1+499 = 500
resulta em
x = 5002 = 250
Substituindo em a = x-y = 1 obtemos
y = x - 1 = 250 - 1 = 249
2. a=499 e b=1. Novamente
2x = 499 + 1 = 500implies x=250,
mas então
y = x - 499 = 250 - 499 = -249,
que não é positivo.

Passo 4

Portanto, a única solução com x,y inteiros e positivos é
(x,y) = (250,,249)

Resposta

(250,249)