Que ângulos varphi formam com o eixo O X as tangentes à curva y=x-x^{2} nos pontos com abscissas:
a) x=0;

Passo 1

O enunciado pede o ângulo \varphi que a reta tangente à curva
y = x - x^2
faz com o eixo O X no ponto cuja abscissa é x=0. O conteúdo principal aqui é derivada para obter o coeficiente angular da tangente e, em seguida, usar a relação \tan\varphi = coeficiente angular.

Passo 2

Calcular a derivada de y em função de x. Como
y = x - x^2,
temos
y' = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(x^2) = 1 - 2x.

Passo 3

Avaliar o coeficiente angular da tangente em x=0. Substituindo na derivada:
m = y'(0) = 1 - 2\cdot0 = 1.

Passo 4

A inclinação da reta tangente é m=1, e a relação entre o coeficiente angular e o ângulo \varphi com o eixo O X é
\tan\varphi = m = 1.
Logo
\varphi = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \varphi = \frac{\pi}{4} (ou 45^\circ).