(CM Brasília-2005) Os números a, b, c são inteiros positivos tais que \mathrm{a}<\mathrm{b}<\mathrm{c}. Se b é a média aritmética simples entre a e c, então necessariamente a razão \frac{b-a}{c-a} pode ser igual a
A () a/a
B() a / b.
C () a/c.
D () b/c.

Passo 1

O enunciado diz que a, b e c são inteiros positivos com
a < b < c
e que b é a média aritmética de a e c. Queremos analisar a razão
\frac{b - a}{c - a}
e ver qual das opções dadas pode ser igual a esse valor.

Passo 2

Por hipótese de média aritmética temos
b = \frac{a + c}{2}
que implica
2b = a + c \quad\Longrightarrow\quad c = 2b - a.
Substituindo em \frac{b - a}{c - a} obtemos
\frac{b - a}{c - a} = \frac{b - a}{(2b - a) - a} = \frac{b - a}{2b - 2a} = \frac{b - a}{2\,(b - a)} = \tfrac12.

Passo 3

Concluímos que, para quaisquer inteiros a<b<c com b média de a e c,
\frac{b - a}{c - a} = \tfrac12.

Passo 4

Agora, entre as expressões fornecidas —
\tfrac{a}{a}, \tfrac{a}{b}, \tfrac{a}{c}, \tfrac{b}{c}
qual pode assumir o valor \tfrac12?
  • \tfrac{a}{a}=1, nunca \tfrac12.
  • \tfrac{a}{b} pode ser \tfrac12 se, por exemplo, a=k, b=2k, c=3k.
  • \tfrac{a}{c}=k/(3k)=\tfrac13\neq\tfrac12.
  • \tfrac{b}{c}=2k/(3k)=\tfrac23\neq\tfrac12.
Logo, a única que pode ser \tfrac12 é \tfrac{a}{b}.

Resposta

B \tfrac{a}{b}