(CM Brasllia-2008) Uma torneira enche um tanque cm 30 minutos, enquanto uma segunda tomeira gasta 20 minutos para encher o mesmo tanque. Sabendo-se que o tanque estava inicialmonte vazio, abre-se a 1^{a} tomeira durante t minutos. Ao firm desse tempo, fecha-se a tomeira e abrese a segunda que termina de encher o tanque \mathrm{cm} t-5 minutos. O tempo total gasto para encher o tanque e :
A () 9 minutos
C () 12 minutos
E () 15 minutos
E () 15 minutos
nutos

Passo 1

O enunciado é um clássico de “taxa de trabalho”: a primeira torneira enche o tanque em 30 min, a segunda em 20 min. Abrimos a primeira torneira por t min, depois fechamos e deixamos a segunda funcionar por t-5 min, completando o enchimento. O que precisamos é montar a equação de volume total igual a 1 tanque, usando as taxas de cada torneira.

Passo 2

A taxa de enchimento da primeira torneira é
\frac{1}{30}\text{ tanque por minuto},
e a da segunda é
\frac{1}{20}\text{ tanque por minuto}.

Passo 3

Em t minutos a primeira torneira enche \tfrac{t}{30} tanques, e em t-5 minutos a segunda enche \tfrac{t-5}{20} tanques. Como o tanque fica cheio, somamos:
\frac{t}{30}+\frac{t-5}{20}=1.

Passo 4

Multiplicando a equação por 60 (mínimo múltiplo de 30 e 20) para eliminar denominadores:
60\Bigl(\frac{t}{30}\Bigr)+60\Bigl(\frac{t-5}{20}\Bigr)=60
2t+3(t-5)=60
2t+3t-15=60
5t=75
t=15\text{ minutos.}

Passo 5

O tempo total gasto é
T = t + (t-5) = 15 + 10 = 25\text{ minutos.}

Resposta

25 minutos.

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