Calcular os determinantes:
|cccca+1 & a & a & a b & 2 b & b & 2 b c & 2 c & 3 c & 4 c 1 & 1 & 1 & 1|.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
a+1 & a & a & a b & 2b & b & 2b c & 2c & 3c & 4c 1 & 1 & 1 & 1
O conteúdo é propriedades de determinantes: operação elementar de linha, desenvolvimento por cofator e fatoração de constantes.

Passo 2

Vamos usar a propriedade de que somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante. Subtraímos da linha 1 a linha 4 multiplicada por a, da linha 2 a linha 4 multiplicada por b e da linha 3 a linha 4 multiplicada por c. Isso leva a
(a+1)-a & a-a & a-a & a-a b-b & 2b-b & b-b & 2b-b c-c & 2c-c & 3c-c & 4c-c 1 & 1 & 1 & 1 = 1 & 0 & 0 & 0 0 & b & 0 & b 0 & c & 2c & 3c 1 & 1 & 1 & 1

Passo 3

Agora expandimos o determinante ao longo da primeira linha, que tem um único elemento não nulo em (1,1):
det = 1 cdot b & 0 & b c & 2c & 3c 1 & 1 & 1

Passo 4

Na submatriz 3times3 podemos fatorar b da primeira linha e c da segunda, pois são constantes multiplicativas de cada entrada:
b & 0 & b c & 2c & 3c 1 & 1 & 1 = bcdot c ; 1 & 0 & 1 1 & 2 & 3 1 & 1 & 1

Passo 5

Calculamos o determinante do 3times3:
1 & 0 & 1 1 & 2 & 3 1 & 1 & 1 =1,(2cdot1-3cdot1)-0+;1,(1cdot1-2cdot1) =(2-3)+(1-2)=-1-1=-2
Portanto
det = 1 cdot (b,c)cdot(-2) = -2,b,c

Resposta

-2,b,c

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