Calcular as seguintes integrais reiteradas:
\int_{0}^{2} d y \int_{0}^{1}\left(x^{2}+2 y\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}dy\int_{0}^{1}(x^{2}+2y)\,dx.
O conteúdo é integração dupla feita em duas etapas: primeiro integramos em x, tratando y como constante, e depois em y, usando a linearidade da integral.

Passo 2

Calculamos a integral interna em x:
\int_{0}^{1}(x^{2}+2y)\,dx = \int_{0}^{1}x^{2}\,dx \;+\;\int_{0}^{1}2y\,dx.
Aqui
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{3},
e
\int_{0}^{1}2y\,dx = 2y\cdot\bigl[x\bigr]_{0}^{1} = 2y.
Logo a integral interna vale
\tfrac{1}{3}+2y.

Passo 3

Agora integramos o resultado em y:
\int_{0}^{2}\bigl(\tfrac{1}{3}+2y\bigr)\,dy = \int_{0}^{2}\tfrac{1}{3}\,dy \;+\;\int_{0}^{2}2y\,dy = \tfrac{1}{3}\cdot2 \;+\;\bigl[y^{2}\bigr]_{0}^{2} = \tfrac{2}{3} + 4 = \tfrac{14}{3}.

Resposta

\tfrac{14}{3}