Calcule
∫∫∫𝐵 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 1 e 𝑥+𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥+𝑦+1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do triplo integral
\iiint_{B} x \,dx\,dy\,dz
onde B é o conjunto definido por
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 1,\quad x + y \le z \le x + y + 1.
O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini para reduzir o cálculo em etapas.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, escrevemos
\iiint_{B} x \,dx\,dy\,dz = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{1} \int_{z=x+y}^{x+y+1} x \,dz\,dy\,dx.

Passo 3

Integramos primeiro em z, tratando x como constante:
\int_{z=x+y}^{x+y+1} x \,dz = x \bigl[(x+y+1)-(x+y)\bigr] = x.
Logo a integral vira
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} x \,dy\,dx.

Passo 4

Agora integramos em y, ainda com x constante:
\int_{y=0}^{1} x \,dy = x \cdot 1 = x.
Restando
\int_{0}^{1} x \,dx.

Passo 5

Por fim, integramos em x:
\int_{0}^{1} x \,dx = \frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2}.

Resposta

\frac{1}{2}