Calcule, por decomposição em fatores primos, a raiz[3]3,375.
2) A raiz cúbica de um número N é 6,25 . Calcule a raiz sexta desse número.
3) Ao extrair a raiz cúbica de um número natural N , verificou-se que o resto era o maior possível e igual a 126. Qual é a soma dos algarismos de N ?
4) O número raiz[3]10+6 raiz3 é igual a:
a) 1+raiz7
b) 1+raiz6
c) 1+raiz5
d) 1+raiz3
e) 1+raiz2

Passo 1

O enunciado propõe quatro cálculos envolvendo raízes fracionárias e fatoração:
– No item 1, extrair a raiz cúbica de um decimal via decomposição em primos.
– No item 2, usar a relação entre raízes de ordens diferentes.
– No item 3, aplicar a definição de resto máximo na extração de raiz inteira.
– No item 4, reconhecer um número da forma raiz[3]10+6raiz3 como cubo de um binômio.

Passo 2

Para raiz[3]3,375, primeiro escrevemos
3,375 = 33751000
Fatorando em primos:
3375 = 3^3cdot5^3, 1000 = 2^3cdot5^3,
logo
3,375 = 3^3cdot5^32^3cdot5^3 = 3^32^3
Extraindo a raiz cúbica vem
raiz[3]3,375 = raiz[3]3^32^3 = 32

Passo 3

Seja N tal que raiz[3]N=6,25. Então
N = (6,25)^3
e a raiz sexta de N é
raiz[6]N = l((6,25)^3r)^!1/6 = (6,25)^3/6 = raiz6,25 = 2,5

Passo 4

Na extração da raiz cúbica inteira de N com resto R, o maior resto possível antes de passar à raiz seguinte é
Rmax = (a+1)^3 - a^3 - 1 = 3a^2 + 3a
Como nos dizem que Rmax=126, temos
3a^2 + 3a = 126 ;Longrightarrow; a^2 + a - 42 = 0 ;Longrightarrow; a=6
Portanto
N = a^3 + 126 = 6^3 + 126 = 216 + 126 = 342,
e a soma dos algarismos de N é
3 + 4 + 2 = 9

Passo 5

Suponha
raiz[3]10 + 6raiz3 = a + braiz3
Então
(a + braiz3)^3 = a^3 + 9ab^2 + (3a^2b + 3b^3)raiz3 = 10 + 6raiz3
Igualando coeficientes, do termo em raiz3 vem
3a^2b + 3b^3 = 6 ;Longrightarrow; a^2b + b^3 = 2,
e do termo real
a^3 + 9ab^2 = 10
Testando inteiros positivos, a=1, b=1 satisfaz
1^2cdot1 + 1^3 = 2, 1^3 + 9cdot1cdot1^2 = 10
Logo
raiz[3]10 + 6raiz3 = 1 + raiz3

Resposta

(1) 32
(2) 2,5
(3) 9
(4) d) 1 + raiz3