Aqui vamos usar integração em etapas: primeiro em \rho, depois em \theta e por fim em \varphi. Precisamos das fórmulas \r \displaystyle\int\rho^{3}d\rho=\tfrac{\rho^{4}}{4}, \r \displaystyle\csc^{4}\theta\,\sin^{2}\theta=\csc^{2}\theta e \r \displaystyle\int\csc^{2}\theta\,d\theta=-\cot\theta.
Avaliaremos em \varphi=\pi/2 e \varphi=\pi/4: \r
em \pi/2 temos -\cos(\pi/2)-\sin(\pi/2)=-0-1=-1, \r
em \pi/4 temos -\cos(\pi/4)-\sin(\pi/4)=-\tfrac{\sqrt2}{2}-\tfrac{\sqrt2}{2}=-\sqrt2. \r
A diferença é \r
-1-(-\sqrt2)=\sqrt2-1. \r
Multiplicando pelo fator \tfrac{a^{4}}{4} resulta \r
\frac{a^{4}}{4}\,(\sqrt2-1).
Resposta
\frac{a^{4}}{4}\,(\sqrt2-1)
Cálculo - Louis Leithold - O Cálculo com Geometria Analítica - Vol 2 - 3ª Edição - Capítulo 18.7 - Ex. 6