Calcule a integral iterada.
\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \int_{\pi / 4}^{\varphi} \int_{0}^{a \operatorname{cosec} \theta} \rho^{3} \operatorname{sen}^{2} \theta \operatorname{sen} \varphi d \rho d \theta d \varphi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada \r
\int_{\varphi=\pi/4}^{\pi/2}\int_{\theta=\pi/4}^{\varphi}\int_{\rho=0}^{a\csc\theta}\rho^{3}\sin^{2}\theta\,\sin\varphi\;d\rho\,d\theta\,d\varphi. \r
Aqui vamos usar integração em etapas: primeiro em \rho, depois em \theta e por fim em \varphi. Precisamos das fórmulas \r \displaystyle\int\rho^{3}d\rho=\tfrac{\rho^{4}}{4}, \r \displaystyle\csc^{4}\theta\,\sin^{2}\theta=\csc^{2}\theta e \r \displaystyle\int\csc^{2}\theta\,d\theta=-\cot\theta.

Passo 2

Integramos em \rho: \r
\int_{0}^{a\csc\theta}\rho^{3}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{0}^{a\csc\theta}=\frac{a^{4}}{4}\,\csc^{4}\theta. \r
Multiplicando por \sin^{2}\theta\,\sin\varphi fica \r
\frac{a^{4}}{4}\,\csc^{4}\theta\,\sin^{2}\theta\,\sin\varphi=\frac{a^{4}}{4}\,\csc^{2}\theta\,\sin\varphi. \r
Logo a integral reduz para \r
\frac{a^{4}}{4}\int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_{\pi/4}^{\varphi}\csc^{2}\theta\,\sin\varphi\;d\theta\,d\varphi.

Passo 3

Agora integramos em \theta: \r
\int_{\pi/4}^{\varphi}\csc^{2}\theta\,d\theta=\Bigl[-\cot\theta\Bigr]_{\pi/4}^{\varphi}=-\cot\varphi-(-\cot\tfrac{\pi}{4})=1-\cot\varphi. \r
Portanto a integral sobre \theta 1-\cot\varphi e o problema vira \r
\frac{a^{4}}{4}\int_{\pi/4}^{\pi/2}(1-\cot\varphi)\,\sin\varphi\;d\varphi.

Passo 4

Simplificamos o integrando: \r
(1-\cot\varphi)\,\sin\varphi=\sin\varphi-\cos\varphi. \r
Então \r
\int_{\pi/4}^{\pi/2}(\sin\varphi-\cos\varphi)\,d\varphi=\Bigl[-\cos\varphi-\sin\varphi\Bigr]_{\pi/4}^{\pi/2}. \r
Avaliaremos em \varphi=\pi/2 e \varphi=\pi/4: \r
em \pi/2 temos -\cos(\pi/2)-\sin(\pi/2)=-0-1=-1, \r
em \pi/4 temos -\cos(\pi/4)-\sin(\pi/4)=-\tfrac{\sqrt2}{2}-\tfrac{\sqrt2}{2}=-\sqrt2. \r
A diferença é \r
-1-(-\sqrt2)=\sqrt2-1. \r
Multiplicando pelo fator \tfrac{a^{4}}{4} resulta \r
\frac{a^{4}}{4}\,(\sqrt2-1).

Resposta

\frac{a^{4}}{4}\,(\sqrt2-1)