Calcule os seguintes limites:
lim x 2 tg(2 x-4)x^3-8.

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto 2tg(2x-4)x^3-8
O conteúdo envolvido é limite de função trigonométrica com indeterminação do tipo tfrac00. Vamos usar fatoração e a propriedade
limuto0tan uu=1

Passo 2

Reescrevemos o argumento da tangente e fatoramos o denominador. Note que
2x-4 = 2(x-2),
e
x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)
Assim o quociente vira
tanl(2(x-2)r)(x-2)(x^2+2x+4)

Passo 3

Para usar limuto0tfractan uu=1, façamos u=2(x-2). Então
tanl(2(x-2)r)=tan(u) e x-2 = u2
Substituindo no quociente,
tan(u)l(tfracu2r),(x^2+2x+4) =tan(u)ucdot2x^2+2x+4

Passo 4

Tomando limite em xto2 equivale a uto0. Logo
limxto2tanl(2(x-2)r)(x-2)(x^2+2x+4) =limuto0tan(u)u;times;limxto22x^2+2x+4
Pelo resultado clássico limuto0tfractan(u)u=1 e avaliando x^2+2x+4 em x=2:
2^2+2cdot2+4=4+4+4=12

Passo 5

Portanto o valor do limite é
1;times;212=16

Resposta

16