Calcule os seguintes limites:
lim x 0 sen x^3x-sen x.

Passo 1

O enunciado pede
L = limxto0sin(x^3)x-sin x
Este é um limite do tipo tfrac00, e vamos usar séries de Taylor de sin x em torno de 0 para identificar os termos de menor ordem que dominam numerador e denominador.

Passo 2

Anotamos as expansões de Taylor até a ordem necessária:
sin(x^3) = x^3 - (x^3)^36 + O(x^9) = x^3 - x^96 + O(x^9),
sin x = x - x^36 + x^5120 + O(x^7)

Passo 3

Substituímos na expressão do limite e extraímos os termos de menor ordem:
x - sin x = x - l(x - x^36 + O(x^5)r) = x^36 + O(x^5)
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sin(x^3)x-sin x = x^3 - x^96 + O(x^9)x^36 + O(x^5)

Passo 4

Focamos nos termos de ordem x^3, pois são os dominantes quando xto0:
x^3tfracx^36 = 6
Os termos de ordem superior contribuiriam com O(x^2) na razão e tendem a zero.

Resposta

6