Calcule a soma de cada uma das seguintes séries
1+49+1+827+1+1681+cdots

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
1+49 ;+;1+827;+;1+1681+cdots
Isso envolve séries geométricas infinitas e a separação em somas mais simples.

Passo 2

Identificamos o termo geral. Note que
  • O primeiro termo corresponde a n=2: numerador 1+2^2, denominador 3^2.
  • Em geral, o n-ésimo termo (começando em n=2) é
an = 1 + 2^n3^n

Passo 3

Separamos a soma em duas séries mais simples:
sumn=2^infty 1 + 2^n3^n =sumn=2^infty13^n ;+;sumn=2^infty2^n3^n =sumn=2^infty13^n ;+;sumn=2^inftyl(23r)^n

Passo 4

Calculamos
sumn=2^infty13^n.
Sabemos que para lvert rrvert<1
sumn=0^inftyr^n=11-r
Aqui r=tfrac13, então
sumn=0^infty13^n=11-tfrac13=32
Subtraindo os termos n=0 e n=1 (que são 1 e tfrac13), vem
sumn=2^infty13^n =32-l(1+tfrac13r) =32-43 =16

Passo 5

Agora sumn=2^inftyl(23r)^n.
É uma série geométrica com primeira parcela l(tfrac23r)^2=tfrac49 e razão r=tfrac23, logo
sumn=2^inftyl(tfrac23r)^n =tfrac491-tfrac23 =tfrac49tfrac13 =43

Passo 6

Somando os dois resultados:
sumn=2^infty13^n +sumn=2^inftyl(tfrac23r)^n =16+43 =1+86 =96 =32

Resposta

32