Calcule todas as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y)=x y e^{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x\,y\,e^x
e pede as derivadas parciais de primeira ordem \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}.
Conteúdo: derivadas parciais aplicando regra do produto e da função exponencial.

Passo 2

Para \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante e usamos a regra do produto em x\,e^x. Primeiro escrevemos
f(x,y)=y\;\bigl(x\,e^x\bigr).
Aplicando \frac{d}{dx}(x\,e^x)=e^x + x\,e^x, segue
\frac{\partial f}{\partial x} = y\,(e^x + x\,e^x) = y\,e^x\,(1 + x).

Passo 3

Para \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x\,e^x como constante em relação a y. Logo,
\frac{\partial f}{\partial y} = x\,e^x.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y\,e^x\,(1+x), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x\,e^x.