Calcule todas as derivadas parciais de primeira ordem da função.
z=\frac{t^{2}}{s^{3}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
z = \frac{t^{2}}{s^{3}}.
Estamos em cálculo multivariável, usando a definição de derivada parcial: ao derivar em relação a uma variável, tratamos a outra como constante. Vamos aplicar a regra da potência e a linearidade da derivada.

Passo 2

Para simplificar a diferenciação, reescrevemos a função em forma de potência:
z = t^{2}\,s^{-3}.

Passo 3

Derivada parcial em relação a s:
\frac{\partial z}{\partial s} = t^{2}\,\frac{d}{ds}\bigl(s^{-3}\bigr) = t^{2}\,\bigl(-3\,s^{-4}\bigr) = -\frac{3\,t^{2}}{s^{4}}.

Passo 4

Derivada parcial em relação a t:
\frac{\partial z}{\partial t} = s^{-3}\,\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr) = s^{-3}\,(2\,t) = \frac{2\,t}{s^{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s} = -\frac{3\,t^{2}}{s^{4}},
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{2\,t}{s^{3}}.