Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem, incluindo as derivadas parciais mistas.
Passo 1
O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
O conteúdo envolve derivadas parciais, regra da cadeia e produto. Vamos primeiro achar as derivadas de primeira ordem e depois derivar novamente em relação a
e
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra da cadeia. Como
temos
e de modo análogo
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
. Usando produto e cadeia,
Passo 4
Derivando
em relação a
, de forma análoga,
Passo 5
Finalmente calculamos a derivada mista
. Partindo de
,
temos
temos
Pelo teorema de Schwarz,
.