Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem, incluindo as derivadas parciais mistas.
f(s, t)=\sqrt{s^{2}+t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(s,t)=\sqrt{s^{2}+t^{2}}.
O conteúdo envolve derivadas parciais, regra da cadeia e produto. Vamos primeiro achar as derivadas de primeira ordem e depois derivar novamente em relação a s e t.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra da cadeia. Como
f(s,t)=(s^{2}+t^{2})^{\tfrac12},
temos
\frac{\partial f}{\partial s} =\frac12\,(s^{2}+t^{2})^{-\tfrac12}\cdot 2s =\frac{s}{\sqrt{s^{2}+t^{2}}}
e de modo análogo
\frac{\partial f}{\partial t} =\frac12\,(s^{2}+t^{2})^{-\tfrac12}\cdot 2t =\frac{t}{\sqrt{s^{2}+t^{2}}}\,.

Passo 3

Agora derivamos \displaystyle f_{s}=\frac{s}{\sqrt{s^{2}+t^{2}}} em relação a s. Usando produto e cadeia,
\frac{\partial^{2}f}{\partial s^{2}} =\frac{\partial}{\partial s}\Bigl[s\,(s^{2}+t^{2})^{-\tfrac12}\Bigr] =(s^{2}+t^{2})^{-\tfrac12}-\frac{s^{2}}{(s^{2}+t^{2})^{\tfrac32}} =\frac{t^{2}}{(s^{2}+t^{2})^{\tfrac32}}.

Passo 4

Derivando \displaystyle f_{t}=\frac{t}{\sqrt{s^{2}+t^{2}}} em relação a t, de forma análoga,
\frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}} =\frac{s^{2}}{(s^{2}+t^{2})^{\tfrac32}}.

Passo 5

Finalmente calculamos a derivada mista \displaystyle f_{st}=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(f_{s}\bigr). Partindo de
\displaystyle f_{s}=s\,(s^{2}+t^{2})^{-\tfrac12},
temos
\frac{\partial^{2}f}{\partial t\,\partial s} =-\,\frac{s\,t}{(s^{2}+t^{2})^{\tfrac32}}.
Pelo teorema de Schwarz, \displaystyle f_{ts}=f_{st}.

Resposta

f_{ss}(s,t)=\frac{t^{2}}{(s^{2}+t^{2})^{\tfrac32}},\quad f_{tt}(s,t)=\frac{s^{2}}{(s^{2}+t^{2})^{\tfrac32}},\quad f_{st}(s,t)=f_{ts}(s,t)=-\frac{s\,t}{(s^{2}+t^{2})^{\tfrac32}}.