4.6.10 (a) Se um campo eletromagnético é puramente elétrico (ou puramente magnético) em um particular referencial de Lorentz, mostre que
e
serão ortogonais em outros sistemas de referência de Lorentz.
(b) Ao contrário, se
e
são ortogonais em um determinado referencial de Lorentz, existe um sistema de referência de Lorentz no qual
(ou
) desaparece. Ache esse sistema de referência.
(b) Ao contrário, se
Passo 1
No enunciado temos dois itens sobre transformações de campos eletromagnéticos sob boost de Lorentz. O conteúdo principal é o uso dos invariantes
e das fórmulas de transformação de
quando mudamos de referencial com velocidade
.
Passo 2
Os invariantes de um campo eletromagnético são
Em particular
é invariante escalar de Lorentz, ou seja, em qualquer outro referencial
.
Passo 3
(a) Se em um referencial dado o campo é puramente elétrico, então
e logo
Como
, segue que em qualquer outro referencial
, ou seja,
e
são ortogonais. O mesmo raciocínio vale se o campo for puramente magnético.
Passo 4
(b) Agora partimos de
, ou seja
. Queremos encontrar um boost de velocidade
que anule um dos campos. Escolhemos
ortogonal a
e a
, de modo que
As fórmulas de transformação (sem o termo
porque
) são
com
.
Passo 5
Para anular
, imponha
. Então
e, como
, obtemos
Esse
satisfaz
quando
, e no referencial obtido fica
.
Passo 6
Para anular
, imponha
. Então
e, pelo mesmo motivo de perpendicularidade,
Esse
satisfaz
quando
, e no novo referencial temos
.
Resposta
O referencial em que
é obtido por um boost de velocidade
O referencial em que
é obtido por um boost de velocidade