4.6.10 (a) Se um campo eletromagnético é puramente elétrico (ou puramente magnético) em um particular referencial de Lorentz, mostre que E e B serão ortogonais em outros sistemas de referência de Lorentz.
(b) Ao contrário, se E e B são ortogonais em um determinado referencial de Lorentz, existe um sistema de referência de Lorentz no qual E (ou B ) desaparece. Ache esse sistema de referência.

Passo 1

No enunciado temos dois itens sobre transformações de campos eletromagnéticos sob boost de Lorentz. O conteúdo principal é o uso dos invariantes
I1=EcdotB, I2=E^2-c^2B^2
e das fórmulas de transformação de quando mudamos de referencial com velocidade .

Passo 2

Os invariantes de um campo eletromagnético são
I1=EcdotB, I2=E^2-c^2B^2
Em particular é invariante escalar de Lorentz, ou seja, em qualquer outro referencial .

Passo 3

(a) Se em um referencial dado o campo é puramente elétrico, então I1=EcdotB=0 e logo
Como , segue que em qualquer outro referencial , ou seja, e são ortogonais. O mesmo raciocínio vale se o campo for puramente magnético.

Passo 4

(b) Agora partimos de v;paral<=l;EtimesB, vcdotE=vcdotB=0 , ou seja E'=gammal(E+vtimesBr), B'=gammal(B-vtimesEc^2r), . Queremos encontrar um boost de velocidade que anule um dos campos. Escolhemos ortogonal a e a , de modo que
As fórmulas de transformação (sem o termo porque ) são
com .

Passo 5

Para anular B=vtimesEc^2 Longrightarrow vtimesE=c^2B , imponha v =c^2,EtimesBE^2 . Então
e, como , obtemos
Esse satisfaz quando , e no referencial obtido fica .

Passo 6

Para anular E+vtimesB=0 Longrightarrow vtimesB=-E , imponha v =BtimesEB^2 . Então
e, pelo mesmo motivo de perpendicularidade,
Esse satisfaz quando , e no novo referencial temos .

Resposta

O referencial em que boxedv = c^2,EtimesBE^2, quando E^2>c^2B^2 é obtido por um boost de velocidade
boxedv =BtimesEB^2, quando E^2
O referencial em que é obtido por um boost de velocidade