4.6.10 (a) Se um campo eletromagnético é puramente elétrico (ou puramente magnético) em um particular referencial de Lorentz, mostre que \mathbf{E} e \mathbf{B} serão ortogonais em outros sistemas de referência de Lorentz.
(b) Ao contrário, se \mathbf{E} e \mathbf{B} são ortogonais em um determinado referencial de Lorentz, existe um sistema de referência de Lorentz no qual \mathbf{E} (ou \mathbf{B} ) desaparece. Ache esse sistema de referência.

Passo 1

No enunciado temos dois itens sobre transformações de campos eletromagnéticos sob boost de Lorentz. O conteúdo principal é o uso dos invariantes
I_{1}=\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}, \quad I_{2}=E^{2}-c^{2}B^{2}
e das fórmulas de transformação de \mathbf{E},\mathbf{B} quando mudamos de referencial com velocidade \mathbf{v}.

Passo 2

Os invariantes de um campo eletromagnético são
I_{1}=\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}, \qquad I_{2}=E^{2}-c^{2}B^{2}.
Em particular I_{1} é invariante escalar de Lorentz, ou seja, em qualquer outro referencial I_{1}'=\mathbf{E}'\cdot\mathbf{B}'=I_{1}.

Passo 3

(a) Se em um referencial dado o campo é puramente elétrico, então \mathbf{B}=0 e logo
I_{1}=\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}=0.
Como I_{1}'=I_{1}=0, segue que em qualquer outro referencial \mathbf{E}'\cdot\mathbf{B}'=0, ou seja, \mathbf{E}' e \mathbf{B}' são ortogonais. O mesmo raciocínio vale se o campo for puramente magnético.

Passo 4

(b) Agora partimos de \mathbf{E}\perp\mathbf{B}, ou seja I_{1}=0. Queremos encontrar um boost de velocidade \mathbf{v} que anule um dos campos. Escolhemos \mathbf{v} ortogonal a \mathbf{E} e a \mathbf{B}, de modo que
\mathbf{v}\;\parallel\;\mathbf{E}\times\mathbf{B}, \qquad \mathbf{v}\cdot\mathbf{E}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{B}=0.
As fórmulas de transformação (sem o termo (\gamma-1)/v^{2} porque \mathbf{v}\cdot\mathbf{E}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{B}=0) são
\mathbf{E}'=\gamma\bigl(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr), \qquad \mathbf{B}'=\gamma\Bigl(\mathbf{B}-\frac{\mathbf{v}\times\mathbf{E}}{c^{2}}\Bigr),
com \gamma=1/\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}.

Passo 5

Para anular \mathbf{B}', imponha \mathbf{B}'=0. Então
\mathbf{B}=\frac{\mathbf{v}\times\mathbf{E}}{c^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{v}\times\mathbf{E}=c^{2}\mathbf{B}
e, como \mathbf{v}\perp\mathbf{E},\mathbf{B}, obtemos
\mathbf{v} =c^{2}\,\frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{E^{2}}.
Esse \mathbf{v} satisfaz \lvert \mathbf{v}\rvert<c quando E^{2}>c^{2}B^{2}, e no referencial obtido fica \mathbf{B}'=0.

Passo 6

Para anular \mathbf{E}', imponha \mathbf{E}'=0. Então
\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}=0 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{v}\times\mathbf{B}=-\mathbf{E}
e, pelo mesmo motivo de perpendicularidade,
\mathbf{v} =\frac{\mathbf{B}\times\mathbf{E}}{B^{2}}.
Esse \mathbf{v} satisfaz \lvert \mathbf{v}\rvert<c quando E^{2}<c^{2}B^{2}, e no novo referencial temos \mathbf{E}'=0.

Resposta

O referencial em que \mathbf{B}'=0 é obtido por um boost de velocidade
\boxed{\mathbf{v} = c^{2}\,\frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{E^{2}}, \quad \text{quando }E^{2}>c^{2}B^{2}.}
O referencial em que \mathbf{E}'=0 é obtido por um boost de velocidade
\boxed{\mathbf{v} =\frac{\mathbf{B}\times\mathbf{E}}{B^{2}}, \quad \text{quando }E^{2}<c^{2}B^{2}.}

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