Uma cisterna cilíndrica vertical, de diâmetro 16 pés e profundidade 20 pés, está cheia de água ( W=62,5 ). Calcular o trabalho necessário para tirar a água da cisterna.
Resp. 800000 \pi libras por pé.

Passo 1

O enunciado dá uma cisterna cilíndrica vertical de diâmetro 16 ft e profundidade 20 ft, cheia de água com densidade W=62{,}5 lb/f t^{3}, e pede o trabalho para bombear toda a água até a borda superior. O conteúdo aqui é cálculo de trabalho por integração de camadas de líquido.

Passo 2

Escolhemos um eixo vertical y medindo a partir do fundo da cisterna y=0 até o topo y=20. Em altura genérica y, consideramos uma lâmina de água de espessura \mathrm{d}y.
A seção transversal é um círculo de raio r=8 ft, logo a área é
A=\pi r^2 = \pi\cdot8^2 = 64\pi\;\text{ft}^2.
O volume da lâmina é 64\pi\,\mathrm{d}y, e seu peso é
\mathrm{d}F = W\cdot\text{volume} = 62{,}5\cdot64\pi\,\mathrm{d}y = 4000\pi\,\mathrm{d}y\quad(\text{libras}).

Passo 3

Cada lâmina deve subir a uma distância igual a 20-y. Assim, o trabalho elementar é
\mathrm{d}W = \bigl(\text{peso da lâmina}\bigr)\times\bigl(\text{distância}\bigr) = 4000\pi\,(20-y)\,\mathrm{d}y.ââ
Integramos de y=0 a y=20:
W = \int_{0}^{20}4000\pi\,(20-y)\,\mathrm{d}y =4000\pi\int_{0}^{20}(20-y)\,\mathrm{d}y =4000\pi\Bigl[20y-\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{0}^{20} =4000\pi\,(400-200) =800000\pi.

Resposta

O trabalho necessário é 800000\pi libras-pé.