Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Uma reta e um plano que têm um ponto comum são concorrentes.
b) Uma reta e um plano secantes têm um único ponto comum.
c) Uma reta e um plano paralelos não têm ponto comum.
d) Um plano e uma reta secantes têm um ponto comum.
e) Se uma reta está contida num plano, eles têm um ponto comum.
f) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a qualquer reta do plano.
g) Se um plano é paralelo a uma reta, qualquer reta do plano é reversa à reta dada.
h) Se uma reta é paralela a um plano, existe no plano uma reta concorrente com a reta dada.
i) Se uma reta e um plano são concorrentes, então a reta é concorrente com qualquer reta do plano.
j) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a infinitas retas do plano.
k) Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.
I) Uma condição necessária e suficiente para uma reta ser paralela a um plano é ser paralela a uma reta do plano e não estar nele.
m) Por um ponto fora de um plano passam infinitas retas paralelas ao plano.
n) Por um ponto fora de uma reta passa um único plano paralelo à reta.
a) Uma reta e um plano que têm um ponto comum são concorrentes.
b) Uma reta e um plano secantes têm um único ponto comum.
c) Uma reta e um plano paralelos não têm ponto comum.
d) Um plano e uma reta secantes têm um ponto comum.
e) Se uma reta está contida num plano, eles têm um ponto comum.
f) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a qualquer reta do plano.
g) Se um plano é paralelo a uma reta, qualquer reta do plano é reversa à reta dada.
h) Se uma reta é paralela a um plano, existe no plano uma reta concorrente com a reta dada.
i) Se uma reta e um plano são concorrentes, então a reta é concorrente com qualquer reta do plano.
j) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a infinitas retas do plano.
k) Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.
I) Uma condição necessária e suficiente para uma reta ser paralela a um plano é ser paralela a uma reta do plano e não estar nele.
m) Por um ponto fora de um plano passam infinitas retas paralelas ao plano.
n) Por um ponto fora de uma reta passa um único plano paralelo à reta.
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeiro (V) ou falso (F) uma lista de afirmações sobre posições relativas de uma reta e um plano no espaço. O conteúdo da matéria envolve definições de reta e plano concorrentes, secantes, paralelos e de inclusão (reta contida no plano), além de propriedades de paralelismo em espaço tridimensional.
Passo 2
Definimos:
– Duas figuras são concorrentes se têm pelo menos um ponto em comum.
– Duas figuras são secantes se têm exatamente um ponto em comum.
– São paralelas se não têm ponto em comum.
– Dizemos que a reta está contida no plano quando todos os seus pontos pertencem ao plano (infinitos pontos em comum).
– Duas figuras são concorrentes se têm pelo menos um ponto em comum.
– Duas figuras são secantes se têm exatamente um ponto em comum.
– São paralelas se não têm ponto em comum.
– Dizemos que a reta está contida no plano quando todos os seus pontos pertencem ao plano (infinitos pontos em comum).
Passo 3
Aplicando essas definições diretamente:
(a) Se uma reta e um plano têm um ponto comum, então eles são concorrentes. V
(b) Se são secantes, por definição têm exatamente um ponto em comum. V
(c) Se são paralelos não têm ponto comum. V
(d) Plano e reta secantes têm um ponto comum (exatamente um). V
(e) Se a reta está contida no plano, evidentemente há pontos em comum. V
(a) Se uma reta e um plano têm um ponto comum, então eles são concorrentes. V
(b) Se são secantes, por definição têm exatamente um ponto em comum. V
(c) Se são paralelos não têm ponto comum. V
(d) Plano e reta secantes têm um ponto comum (exatamente um). V
(e) Se a reta está contida no plano, evidentemente há pontos em comum. V
Passo 4
Contraexemplos para mostrar falsidade de (f) a (i):
(f) Uma reta paralela a um plano não precisa ser paralela a toda reta do plano: podem ser retas enviesadas (skew). F
(g) Analogamente, nem toda reta do plano será skew; algumas podem até ser paralelas, outras não. F
(h) Se a reta é paralela ao plano, ela não intersecta nenhum ponto do plano, logo não há reta no plano que a corte. F
(i) Se reta e plano são concorrentes, elas se encontram num ponto P, mas nem toda reta do plano passa por P. F
(f) Uma reta paralela a um plano não precisa ser paralela a toda reta do plano: podem ser retas enviesadas (skew). F
(g) Analogamente, nem toda reta do plano será skew; algumas podem até ser paralelas, outras não. F
(h) Se a reta é paralela ao plano, ela não intersecta nenhum ponto do plano, logo não há reta no plano que a corte. F
(i) Se reta e plano são concorrentes, elas se encontram num ponto P, mas nem toda reta do plano passa por P. F
Passo 5
Analisando as demais:
(j) Se uma reta é paralela a um plano, há infinitas direções no plano paralelas à reta, logo infinitas retas do plano paralelas à dada. V
(k) Duas retas distintas paralelas ao mesmo plano podem ser skew entre si (direções diferentes), não necessariamente paralelas. F
(l) Critério: reta é paralela a um plano se e somente se ela é paralela a alguma reta do plano e não está contida nele. V
(m) Dado um ponto fora do plano, por ele passam infinitas retas cujas direções são todas paralelas ao plano. V
(n) Por um ponto fora de uma reta existem infinitos planos paralelos a essa reta, não apenas um. F
(j) Se uma reta é paralela a um plano, há infinitas direções no plano paralelas à reta, logo infinitas retas do plano paralelas à dada. V
(k) Duas retas distintas paralelas ao mesmo plano podem ser skew entre si (direções diferentes), não necessariamente paralelas. F
(l) Critério: reta é paralela a um plano se e somente se ela é paralela a alguma reta do plano e não está contida nele. V
(m) Dado um ponto fora do plano, por ele passam infinitas retas cujas direções são todas paralelas ao plano. V
(n) Por um ponto fora de uma reta existem infinitos planos paralelos a essa reta, não apenas um. F
Resposta
(a) V
(b) V
(c) V
(d) V
(e) V
(f) F
(g) F
(h) F
(i) F
(j) V
(k) F
(l) V
(m) V
(n) F
(b) V
(c) V
(d) V
(e) V
(f) F
(g) F
(h) F
(i) F
(j) V
(k) F
(l) V
(m) V
(n) F