(Colégio Naval-83) Um triângulo ABC está inscrito em um circulo e o arco BC mede 100^{\circ}. Calcular a medida do ângulo \mathrm{BE} \hat{\mathrm{E}} \mathrm{C}, sendo E o ponto de intersecção da bissetriz externa relativa a \hat{B} com o prolongamento do segmento \overline{C M}, onde M é o ponto médio do arco menor AB .
a) 15^{\circ}
b) 25^{\circ}
c) 20^{\circ}
d) 40^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC inscrito numa circunferência, com arco \overset{\frown}{BC}=100^\circ. O ponto M é o ponto médio do arco menor AB (logo \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MB}), e E é a interseção da bissetriz externa de \angle ABC com o prolongamento do segmento CM. Precisamos usar o Teorema do Ângulo Inscrito (que relaciona arcos a ângulos internos) e propriedades da bissetriz externa para achar \angle BEC.

Passo 2

Denotemos
\overset{\frown}{AB}=x,\quad \overset{\frown}{BC}=100^\circ,\quad \overset{\frown}{CA}=360^\circ-100^\circ-x=260^\circ-x.
No triângulo BMC, as medidas dos ângulos são, via ângulo inscrito:
\angle BMC=\tfrac12\overset{\frown}{BC}=\tfrac12\cdot100^\circ=50^\circ,
\angle MCB=\tfrac12\overset{\frown}{MB}=\tfrac12\cdot\frac{x}{2}=\frac{x}{4},
\angle MBC=\tfrac12\overset{\frown}{MC}=\tfrac12\bigl(\overset{\frown}{AM}+\overset{\frown}{AC}\bigr) =\tfrac12\Bigl(\tfrac{x}{2}+(260^\circ-x)\Bigr)=\frac{x}{4}+130^\circ.
Como \angle BMC+\angle MCB+\angle MBC=180^\circ, obtemos
50^\circ+\frac{x}{4}+\Bigl(\frac{x}{4}+130^\circ\Bigr)=180^\circ \quad\Longrightarrow\quad x+180^\circ=180^\circ \;\Longrightarrow\;x=160^\circ.

Passo 3

Com x=160^\circ segue
\overset{\frown}{AB}=160^\circ,
\overset{\frown}{BC}=100^\circ,
\overset{\frown}{CA}=100^\circ.
Então os ângulos do triângulo ABC são
\angle ABC=\tfrac12\overset{\frown}{CA}=50^\circ, \quad \angle ACB=\tfrac12\overset{\frown}{AB}=80^\circ, \quad \angle BAC=\tfrac12\overset{\frown}{BC}=50^\circ.
Em particular, no triângulo BMC também vale
\angle MCB=\tfrac12\overset{\frown}{MB}=\tfrac12\cdot80^\circ=40^\circ
e
\angle MBC=\tfrac12\overset{\frown}{MC}=\tfrac12\cdot180^\circ=90^\circ.

Passo 4

A reta BE é a bissetriz externa de \angle ABC=50^\circ, cujo ângulo externo suplementar mede 180^\circ-50^\circ=130^\circ. Ao bissetar, cada parte vale 65^\circ. No triângulo BEC, o ângulo interno em B é o suplemento desse 65^\circ, i.e.
\angle EBC=180^\circ-65^\circ=115^\circ.
Além disso, em C, a reta CE coincide com a direção de CM estendido, de modo que
\angle ECB=\angle MCB=40^\circ.

Passo 5

No triângulo BEC, a soma interna dá
\angle BEC=180^\circ-\angle EBC-\angle ECB =180^\circ-115^\circ-40^\circ =25^\circ.

Resposta

25^\circ
ou seja, alternativa (b).