(Colégio Naval-83) Um triângulo ABC está inscrito em um circulo e o arco BC mede 100^{\circ}. Calcular a medida do ângulo \mathrm{BE} \hat{\mathrm{E}} \mathrm{C}, sendo E o ponto de intersecção da bissetriz externa relativa a \hat{B} com o prolongamento do segmento \overline{C M}, onde M é o ponto médio do arco menor AB .
a) 15^{\circ}
b) 25^{\circ}
c) 20^{\circ}
d) 40^{\circ}
Passo 1
O enunciado dá um triângulo ABC inscrito numa circunferência, com arco \overset{\frown}{BC}=100^\circ. O ponto M é o ponto médio do arco menor AB (logo \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MB}), e E é a interseção da bissetriz externa de \angle ABC com o prolongamento do segmento CM. Precisamos usar o Teorema do Ângulo Inscrito (que relaciona arcos a ângulos internos) e propriedades da bissetriz externa para achar \angle BEC.
Com x=160^\circ segue \overset{\frown}{AB}=160^\circ, \overset{\frown}{BC}=100^\circ, \overset{\frown}{CA}=100^\circ.
Então os ângulos do triângulo ABC são
Em particular, no triângulo BMC também vale \angle MCB=\tfrac12\overset{\frown}{MB}=\tfrac12\cdot80^\circ=40^\circ
e \angle MBC=\tfrac12\overset{\frown}{MC}=\tfrac12\cdot180^\circ=90^\circ.
Passo 4
A reta BE é a bissetriz externa de \angle ABC=50^\circ, cujo ângulo externo suplementar mede 180^\circ-50^\circ=130^\circ. Ao bissetar, cada parte vale 65^\circ. No triângulo BEC, o ângulo interno em B é o suplemento desse 65^\circ, i.e.
\angle EBC=180^\circ-65^\circ=115^\circ.
Além disso, em C, a reta CE coincide com a direção de CM estendido, de modo que