Considere a função f(x, y)=x^2+3 y^2. Usando a definição de derivada parcial, calcule fx(3,2) e fy(3,2).

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=x^2+3y^2
e pede para calcular as derivadas parciais em (3,2) usando a definição
de derivada parcial, ou seja, os limites
fx(a,b)=limhto0f(a+h,b)-f(a,b)h, fy(a,b)=limkto0f(a,b+k)-f(a,b)k

Passo 2

Vamos achar fx(3,2). Pela definição,
fx(3,2) =limhto0f(3+h,2)-f(3,2)h
Calculando o numerador:
f(3+h,2)= (3+h)^2+3cdot2^2 =9+6h+h^2+12,
f(3,2)=3^2+3cdot2^2=9+12=21,
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f(3+h,2)-f(3,2)= (9+6h+h^2+12)-21=6h+h^2
Dividindo por h e fazendo hto0:
6h+h^2h=6+h ;xrightarrow[hto0];6
Portanto fx(3,2)=6.

Passo 3

Agora calculamos fy(3,2) por
fy(3,2) =limkto0f(3,2+k)-f(3,2)k
O numerador é
f(3,2+k)=3^2+3(2+k)^2=9+3(4+4k+k^2)=9+12+12k+3k^2,
f(3,2)=21,
então
f(3,2+k)-f(3,2)= (21+12k+3k^2)-21=12k+3k^2
Dividindo por k e fazendo kto0:
12k+3k^2k=12+3k ;xrightarrow[kto0];12
Logo fy(3,2)=12.

Resposta

fx(3,2)=6
fy(3,2)=12