Considere um quadrilátero reverso e três segmentos: o primeiro com extremidades nos pontos médios de dois lados opostos, o segundo com extremidades nos pontos médios dos outros dois lados opostos, o terceiro com extremidades nos pontos médios das diagonais. Prove que esses três segmentos se interceptam num ponto.
Passo 1
O enunciado nos dá um quadrilátero reverso (auto-intersectante) cujos vértices, na ordem do percurso, são . Definem-se três segmentos:
, onde e são os pontos médios de e , respectivamente;
, onde e são os pontos médios de e , respectivamente;
, onde e são os pontos médios das diagonais e .
Queremos provar que , e se interceptam num mesmo ponto. Para isso, usaremos coordenadas vetoriais e equações paramétricas de retas.
Passo 2
Expressamos vetorialmente cada ponto-médio:
A reta admite a parametrização
e a reta admite
Passo 3
Para encontrar o ponto de interseção
No numerador:
Comparando coeficientes de vem o sistema
Das duas primeiras equações obtemos , logo
Substituindo em dá
Passo 4
Verificamos que P também pertence a MN. A reta MN tem parametrização
XMN(u) = u,M + (1-u),N = u(A + C) + (1-u)(B + D)2
Para u=tfrac12 obtemos
XMNl(tfrac12r) = tfrac12(A + C) + tfrac12(B + D)2 = A + B + C + D4 = P
Assim, P pertence simultaneamente a EG, FH e MN.
Resposta
Os três segmentos são concorrentes no ponto
P = A + B + C + D4
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 34