Considere um quadrilátero reverso e três segmentos: o primeiro com extremidades nos pontos médios de dois lados opostos, o segundo com extremidades nos pontos médios dos outros dois lados opostos, o terceiro com extremidades nos pontos médios das diagonais. Prove que esses três segmentos se interceptam num ponto.

Passo 1

O enunciado nos dá um quadrilátero reverso (auto-intersectante) cujos vértices, na ordem do percurso, são A,B,C,D. Definem-se três segmentos:
  • EG, onde E e G são os pontos médios de AB e CD, respectivamente;
  • FH, onde F e H são os pontos médios de BC e DA, respectivamente;
  • MN, onde M e N são os pontos médios das diagonais AC e BD.
Queremos provar que EG, FH e MN se interceptam num mesmo ponto. Para isso, usaremos coordenadas vetoriais e equações paramétricas de retas.

Passo 2

Expressamos vetorialmente cada ponto-médio:
E = A + B2, G = C + D2, F = B + C2, H = D + A2, M = A + C2, N = B + D2
A reta EG admite a parametrização
XEG(t) = t,E + (1-t),G = t(A + B) + (1-t)(C + D)2,
e a reta FH admite
XFH(s) = s,F + (1-s),H = s(B + C) + (1-s)(D + A)2

Passo 3

Para encontrar o ponto de interseção
No numerador:
Comparando coeficientes de vem o sistema
Das duas primeiras equações obtemos , logo
Substituindo em

Passo 4

Verificamos que P também pertence a MN. A reta MN tem parametrização
XMN(u) = u,M + (1-u),N = u(A + C) + (1-u)(B + D)2
Para u=tfrac12 obtemos
XMNl(tfrac12r) = tfrac12(A + C) + tfrac12(B + D)2 = A + B + C + D4 = P
Assim, P pertence simultaneamente a EG, FH e MN.

Resposta

Os três segmentos são concorrentes no ponto
P = A + B + C + D4