Considere a sentença a seguir:
Para todo número inteiro
, se
, então
é par.
(a) Escreva essa sentença usando lógica de predicados no domínio dos números inteiros. Diga quais são os seus predicados.
(b) Aplique a Regra Prática 1.1 para escrever a primeira frase de uma demonstração direta para essa sentença.
(c) Use a Definição 1.10 para traduzir a sua suposição da parte (b) para álgebra.
(d) Termine a demonstração da sentença.
(a) Escreva essa sentença usando lógica de predicados no domínio dos números inteiros. Diga quais são os seus predicados.
(b) Aplique a Regra Prática 1.1 para escrever a primeira frase de uma demonstração direta para essa sentença.
(c) Use a Definição 1.10 para traduzir a sua suposição da parte (b) para álgebra.
(d) Termine a demonstração da sentença.
Passo 1
O enunciado afirma: “Para todo inteiro
, se
então
é par.”
O conteúdo é lógica de predicados e prova direta usando a definição de divisibilidade e de número par. Precisaremos formalizar os predicados e depois construir uma demonstração direta começando por uma suposição do tipo .
O conteúdo é lógica de predicados e prova direta usando a definição de divisibilidade e de número par. Precisaremos formalizar os predicados e depois construir uma demonstração direta começando por uma suposição do tipo
Passo 2
(a) Em notação de lógica de predicados, no domínio
, escrevemos
Definimos os predicados
Passo 3
(b) Pela Regra Prática 1.1 (esboço de prova direta), iniciamos:
“Seja um inteiro arbitrário. Suponha
.”
“Seja
Passo 4
(c) Aplicando a Definição 1.10 de divisibilidade ( “
se, e somente se, existe
tal que
” ), da suposição
obtemos
Passo 5
(d) Concluímos com álgebra e definição de par:
Como
, isso mostra que existe
com
, ou seja,
é par. Logo a sentença está demonstrada para todo
.
Resposta
(a)
.
Predicados: ,
é par.
(b) Seja arbitrário e suponha
.
(c) Então tal que
.
(d) Daí com
, logo
é par.
Predicados:
(b) Seja
(c) Então
(d) Daí