Considere a sentença a seguir:
Para todo número inteiro x, se 4 mid x, então x é par.
(a) Escreva essa sentença usando lógica de predicados no domínio dos números inteiros. Diga quais são os seus predicados.
(b) Aplique a Regra Prática 1.1 para escrever a primeira frase de uma demonstração direta para essa sentença.
(c) Use a Definição 1.10 para traduzir a sua suposição da parte (b) para álgebra.
(d) Termine a demonstração da sentença.

Passo 1

O enunciado afirma: “Para todo inteiro x, se 4mid x então x é par.”
O conteúdo é lógica de predicados e prova direta usando a definição de divisibilidade e de número par. Precisaremos formalizar os predicados e depois construir uma demonstração direta começando por uma suposição do tipo 4mid x.

Passo 2

(a) Em notação de lógica de predicados, no domínio Z, escrevemos
forall xinZ,l(4mid x;to;x é parr) é
Definimos os predicados
P(x)colon 4mid x, Q(x)colon x é par é

Passo 3

(b) Pela Regra Prática 1.1 (esboço de prova direta), iniciamos:
“Seja x um inteiro arbitrário. Suponha 4mid x.”

Passo 4

(c) Aplicando a Definição 1.10 de divisibilidade ( “ amid b se, e somente se, existe kinZ tal que b=ak” ), da suposição 4mid x obtemos
exists kinZ tal que x=4k

Passo 5

(d) Concluímos com álgebra e definição de par:
x=4k=2,(2k)
Como 2kinZ, isso mostra que existe m=2kinZ com x=2m, ou seja, x é par. Logo a sentença está demonstrada para todo xinZ.

Resposta

(a) forall xinZ,(4mid xto exists ninZ:x=2n).
Predicados: P(x):4mid x, Q(x):x é par.
(b) Seja xinZ arbitrário e suponha 4mid x.
(c) Então exists kinZ tal que x=4k.
(d) Daí x=4k=2(2k) com 2kinZ, logo x é par.