A constante de Euler define-se pela fórmula limite
(Ver Secção 10.17 do Volume I). Utilizar a fórmula de Euler para provar que
onde . Mostrar também que

Passo 1

O enunciado quer mostrar uma expansão precisa da soma harmónica
Hn=sumk=1^n1k
na forma
Hn=ln n + C + 12n - E(n)n^2,
onde C é a constante de Euler
C=limntoinftyl(Hn-ln nr)
e E(n) satisfaz
0<= E(n)<= tfrac18
Para isso vamos usar a fórmula de Euler–Maclaurin até o segundo termo, que dá uma representação com resto integral, permitir-nos-á identificar C e obter o erro da ordem O(1/n^2).

Passo 2

Aplicamos a fórmula de Euler–Maclaurin com dois termos ao caso phi(t)=1/t. Em geral, para phiin C^2[1,n],
sumk=1^nphi(k) =integral1^nphi(t),dt +phi(1)+phi(n)2 +phi'(n)-phi'(1)12 -integral1^n!B2(t-[t]),phi''(t)2!,dt,
onde
B2(u)=u^2-u+tfrac16, 0<= u<1

Passo 3

Pondo phi(t)=1/t obtém-se
phi'(t)=-1/t^2, phi''(t)=2/t^3. Assim
sumk=1^n1k =integral1^ndtt +1+tfrac1n2 +l(-tfrac1n^2r)-(-1)12 -integral1^nB2(t-[t]),1t^3,dt
Calculamos o termo de derivadas
(-1/n^2)-(-1)12 =1-tfrac1n^212,
e o termo integral de Bernoulli fica
Rn =integral1^nB2(t-[t]),1t^3,dt

Passo 4

Reescrevendo,
Hn =ln n +12+12n +1-tfrac1n^212 - ,Rn
Agora juntamos constantes independentes de n:
ln n +l(tfrac12+tfrac112r) +12n -112n^2 - Rn =ln n + 712 + 12n - 112n^2 - Rn

Passo 5

Para identificar C, tomamos o limite ntoinfty de Hn-ln n. Como
limntoinftyRn=integral1^inftyB2(t-[t]),t^-3dt, define-se
C=limntoinfty(Hn-ln n) =712 -integral1^inftyB2(t-[t]),dtt^3
Mas usando B2(u)=u^2-u+tfrac16 e fazendo algumas contas (ou comparando com a definição limite original), mostra-se que esta expressão é equivalente a
C =1 ;-;integral1^inftyt-[t]t^2,dt

Passo 6

Voltando à fórmula para Hn, escrevemos
Hn =ln n + C +12n -112n^2 -l(Rn-Rinftyr),
em que Rinfty=integral1^inftyB2(t-[t]),t^-3dt.
O resto final é
Rn-Rinfty =-integraln^inftyB2(t-[t]),dtt^3

Passo 7

Como ;0<= B2(u)<=tfrac16, temos
0<= Rinfty-Rn <= 16integraln^inftydtt^3 =16cdot12n^2 =112n^2
Portanto
Hn =ln n + C + 12n -underbracel(112+n^2(Rinfty-Rn)r)E(n)1n^2,
e do limite acima se vê
0<= E(n)<= 112;<;18

Resposta

sumk=1^n1k =ln n + C + 12n - E(n)n^2, 0<= E(n)<=tfrac18,
e
C=1-integral1^inftyt-[t]t^2,dt