A constante de Euler define-se pela fórmula limite
(Ver Secção 10.17 do Volume I). Utilizar a fórmula de Euler para provar que
onde
. Mostrar também que
Passo 1
O enunciado quer mostrar uma expansão precisa da soma harmónica
na forma
onde
é a constante de Euler
e
satisfaz
Para isso vamos usar a fórmula de Euler–Maclaurin até o segundo termo, que dá uma representação com resto integral, permitir-nos-á identificar
e obter o erro da ordem
.
Passo 2
Aplicamos a fórmula de Euler–Maclaurin com dois termos ao caso
. Em geral, para
,
onde
Passo 3
Pondo
obtém-se
,
. Assim
Calculamos o termo de derivadas
e o termo integral de Bernoulli fica
Passo 4
Reescrevendo,
Agora juntamos constantes independentes de
:
Passo 5
Para identificar
, tomamos o limite
de
. Como
, define-se
Mas usando
e fazendo algumas contas (ou comparando com a definição limite original), mostra-se que esta expressão é equivalente a
Passo 6
Voltando à fórmula para
, escrevemos
em que
.
O resto final é
O resto final é
Passo 7
Como
, temos
Portanto
e do limite acima se vê
Resposta
e