(Covest-2000) Seja P um ponto na circunferência inscrita num triângulo equilátero ABC de lado 4. Indique
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um triângulo equilátero de lado
e que
é um ponto sobre o círculo inscrito nesse triângulo. Precisamos calcular a soma
O conteúdo principal será usar uma identidade de soma dos quadrados de distâncias a partir de um ponto qualquer em relação aos vértices, envolvendo o centroide do triângulo.
Passo 2
Seja
o centroide de
. Usando coordenadas vetoriais no plano, mostra-se que para qualquer ponto
vale a identidade
Assim, nossa soma é constante desde que conheçamos
e
.
Passo 3
Num triângulo equilátero, o centroide
coincide com o incentro
. O raio da circunferência inscrita é
com
. Logo
então
Passo 4
Ainda no equilátero de lado
, o centroide dista
logo
e
Passo 5
Aplicando a identidade do Passo 2: