(Covest-2000) Seja P um ponto na circunferência inscrita num triângulo equilátero ABC de lado 4. Indique \mathrm{PA}^{2}+\mathrm{PB}^{2}+\mathrm{PC}^{2}.

Passo 1

O enunciado diz que ABC é um triângulo equilátero de lado 4 e que P é um ponto sobre o círculo inscrito nesse triângulo. Precisamos calcular a soma
\mathrm{PA}^2 + \mathrm{PB}^2 + \mathrm{PC}^2.
O conteúdo principal será usar uma identidade de soma dos quadrados de distâncias a partir de um ponto qualquer em relação aos vértices, envolvendo o centroide do triângulo.

Passo 2

Seja G o centroide de ABC. Usando coordenadas vetoriais no plano, mostra-se que para qualquer ponto P vale a identidade
\mathrm{PA}^2 + \mathrm{PB}^2 + \mathrm{PC}^2 = 3\,PG^2 \;+\;\bigl(\mathrm{GA}^2 + \mathrm{GB}^2 + \mathrm{GC}^2\bigr).
Assim, nossa soma é constante desde que conheçamos PG^2 e \mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2.

Passo 3

Num triângulo equilátero, o centroide G coincide com o incentro I. O raio da circunferência inscrita é
r = \frac{a\sqrt{3}}{6}
com a=4. Logo
PG = IG = r = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3},
então
PG^2 = \Bigl(\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\Bigr)^{2} = \frac{4\cdot3}{9} = \frac{4}{3}.

Passo 4

Ainda no equilátero de lado a=4, o centroide dista
\mathrm{GA} = \frac{2}{3}\times\text{mediana} = \frac{2}{3}\times\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}},
logo
\mathrm{GA}^2 = \frac{16}{3},
e
\mathrm{GA}^2 + \mathrm{GB}^2 + \mathrm{GC}^2 = 3\times \frac{16}{3} = 16.

Passo 5

Aplicando a identidade do Passo 2:
\mathrm{PA}^2 + \mathrm{PB}^2 + \mathrm{PC}^2 = 3\,PG^2 \;+\;16 = 3\cdot\frac{4}{3} \;+\;16 = 4 + 16 = 20.

Resposta

20