(a) O que é uma curva parametrizada?
(b) Como você esboça uma curva parametrizada?
(b) Como você esboça uma curva parametrizada?
Passo 1
O enunciado pergunta (a) o que é uma curva parametrizada e (b) como esboçá-la. Esse conteúdo pertence a funções vetoriais em
(ou
), em que usamos uma função vetor
para descrever trajetórias no plano. Para responder, vamos precisar lembrar da definição de função parametrizada, da noção de domínio e imagem, e de um procedimento prático para desenhar o caminho determinado por
.
Passo 2
Uma curva parametrizada é a imagem de uma função vetor
, onde
é um intervalo de parâmetro. No caso mais comum em duas dimensões, escrevemos
com . A cada valor de
corresponde um ponto
no plano, e o conjunto desses pontos, percorrido conforme
varia, forma a curva.
com
Passo 3
Para entender bem essa definição, repare que
-
e são funções reais definidas em . - O conjunto
é chamado de traço (ou imagem) da curva. - O parâmetro
não só gera os pontos, mas também dá orientação à curva (sentido em que ela é percorrida quando cresce). - Em
, teríamos , mas o conceito é o mesmo.
Passo 4
Para esboçar uma curva parametrizada
, siga este roteiro:
– Identifique o intervalo de
.
– Escolha valores-chave de (por exemplo, extremos do intervalo e pontos em que
ou
mudam de sinal).
– Calcule as coordenadas nesses valores e marque-os no plano.
– Conecte os pontos na ordem em que cresce, desenhando o traço.
– Indique setas no sentido de aumento de para mostrar orientação.
– Se for útil, calcule vetores tangentes para ver se a curva fica “mais inclinada” ou tem pontos de inflexão.
– Observe também comportamento em limites de
: a curva pode ter assíntotas ou se fechar (caso seja fechada).
– Identifique o intervalo
– Escolha valores-chave de
– Calcule as coordenadas
– Conecte os pontos na ordem em que
– Indique setas no sentido de aumento de
– Se for útil, calcule vetores tangentes
– Observe também comportamento em
Resposta
(a) Uma curva parametrizada é o conjunto de pontos
, onde
(ou
) é uma função vetor definida num intervalo
. Cada valor de
gera um ponto no espaço, e o traço total forma a curva com uma orientação dada pelo aumento de
.
(b) Para esboçá-la, determina-se o intervalo de
, calcula-se e plota-se pontos chave
, liga-se esses pontos segundo a ordem de
, adiciona-se setas para indicar o sentido e, se necessário, analisa-se vetores tangentes ou o comportamento nos extremos do intervalo.