(a) O que é uma curva parametrizada?
(b) Como você esboça uma curva parametrizada?

Passo 1

O enunciado pergunta (a) o que é uma curva parametrizada e (b) como esboçá-la. Esse conteúdo pertence a funções vetoriais em \mathbb{R}^2 (ou \mathbb{R}^n), em que usamos uma função vetor \mathbf{r}(t) para descrever trajetórias no plano. Para responder, vamos precisar lembrar da definição de função parametrizada, da noção de domínio e imagem, e de um procedimento prático para desenhar o caminho determinado por \mathbf{r}(t).

Passo 2

Uma curva parametrizada é a imagem de uma função vetor \mathbf{r}\colon I \to \mathbb{R}^n, onde I\subset\mathbb{R} é um intervalo de parâmetro. No caso mais comum em duas dimensões, escrevemos \mathbf{r}(t) = \bigl(x(t),\,y(t)\bigr)
com t\in I. A cada valor de t corresponde um ponto \bigl(x(t),y(t)\bigr) no plano, e o conjunto desses pontos, percorrido conforme t varia, forma a curva.

Passo 3

Para entender bem essa definição, repare que
  1. x(t) e y(t) são funções reais definidas em I.
  2. O conjunto \{\,(x(t),y(t)) : t\in I\} é chamado de traço (ou imagem) da curva.
  3. O parâmetro t não só gera os pontos, mas também dá orientação à curva (sentido em que ela é percorrida quando t cresce).
  4. Em \mathbb{R}^3, teríamos \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), mas o conceito é o mesmo.

Passo 4

Para esboçar uma curva parametrizada \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), siga este roteiro:
– Identifique o intervalo I de t.
– Escolha valores-chave de t (por exemplo, extremos do intervalo e pontos em que x' ou y' mudam de sinal).
– Calcule as coordenadas \bigl(x(t),y(t)\bigr) nesses valores e marque-os no plano.
– Conecte os pontos na ordem em que t cresce, desenhando o traço.
– Indique setas no sentido de aumento de t para mostrar orientação.
– Se for útil, calcule vetores tangentes \mathbf{r}'(t) para ver se a curva fica “mais inclinada” ou tem pontos de inflexão.
– Observe também comportamento em t\to limites de I: a curva pode ter assíntotas ou se fechar (caso seja fechada).

Resposta

(a) Uma curva parametrizada é o conjunto de pontos \{\,\mathbf{r}(t):t\in I\}, onde \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) (ou (x(t),y(t),z(t))) é uma função vetor definida num intervalo I. Cada valor de t gera um ponto no espaço, e o traço total forma a curva com uma orientação dada pelo aumento de t.
(b) Para esboçá-la, determina-se o intervalo de t, calcula-se e plota-se pontos chave \bigl(x(t),y(t)\bigr), liga-se esses pontos segundo a ordem de t, adiciona-se setas para indicar o sentido e, se necessário, analisa-se vetores tangentes ou o comportamento nos extremos do intervalo.