Dada a função:
f(x)=l x, se x <= 1 2, se x>1
Mostre que não existe f^prime(1).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= x, & se x<=1, 2, & se x>1,
e pede para mostrar que f'(1) não existe. O conteúdo aqui é derivada de função definida por partes, usando a definição de derivada via limite do quociente incremental e comparando os limites laterais em x=1.

Passo 2

Calculamos o limite do quociente incremental pela esquerda, ou seja, para hto0^-:
f'-(1) =limhto0^-f(1+h)-f(1)h =limhto0^-(1+h)-1h =limhto0^-hh =1

Passo 3

Calculamos o limite do quociente incremental pela direita, isto é, para hto0^+:
f'+(1) =limhto0^+f(1+h)-f(1)h =limhto0^+2-1h =limhto0^+1h =+infty,
ou seja, não é um número real finito.

Passo 4

Como a derivada lateral esquerda vale 1 e a lateral direita diverge, os dois limites não coincidem e nem são finitos. Logo, f'(1) não existe.

Resposta

Não existe f'(1).