Dadas as equações x^2-5 x+k=0 e x^2-7 x+2 k=0, sabe-se que uma das raízes da segunda equação é o dobro de uma das raízes da primeira equação. Sendo k neq 0, determine k.

Passo 1

O enunciado dá duas equações quadráticas
x^2-5x+k=0
e
x^2-7x+2k=0,
afirmando que uma raiz da segunda é o dobro de uma raiz da primeira. Vamos usar as relações de Viète para quadráticas.

Passo 2

Sejam alpha e beta as raízes de x^2-5x+k=0. Pelas relações de Viète:
alpha+beta=5, alphabeta=k
Sejam gamma e de<a as raízes de x^2-7x+2k=0. Então:
gamma+de<a=7, gammade<a=2k

Passo 3

Sem perda de generalidade, suponha gamma=2alpha. Da soma das raízes da segunda equação:
de<a=7-gamma=7-2alpha
Da relação do produto:
gamma,de<a=2k Longrightarrow 2alpha,(7-2alpha)=2k Longrightarrow alpha(7-2alpha)=k

Passo 4

Como também alphabeta=k, igualamos:
alphabeta=alpha(7-2alpha)
Como kneq0 implica alphaneq0, dividimos por alpha:
beta=7-2alpha
Mas de alpha+beta=5 vem
alpha+(7-2alpha)=5 Longrightarrow 7-alpha=5 Longrightarrow alpha=2
Logo beta=5-2=3 e
k=alphabeta=2cdot3=6

Resposta

6