Dado um triângulo retângulo de catetos
e
e hipotenusa
,
a) calcule os volumes dos sólidos gerados quando o triângulo gira em torno de
, em torno de
e em torno de
;
b) prove que
;
c) supondo que
, compare
e
.
a) calcule os volumes dos sólidos gerados quando o triângulo gira em torno de
b) prove que
c) supondo que
Passo 1
Temos um triângulo retângulo cujos catetos medem
e
e a hipotenusa mede
. Ao girar o triângulo em torno de cada lado obtemos sólidos de revolução. Para calcular seus volumes vamos usar:
– Para eixos que coincidem com um cateto, o sólido é um cone.
– Para o eixo na hipotenusa, usaremos o Teorema de Pappus (volume área da região
distância percorrida pelo baricentro).
– Para eixos que coincidem com um cateto, o sólido é um cone.
– Para o eixo na hipotenusa, usaremos o Teorema de Pappus (volume
Passo 2
Ao girar em torno de
, o triângulo gera um cone de altura
e raio da base igual a
. Logo
Analogamente, girando em torno de
obtemos um cone de altura
e raio
, de modo que
Passo 3
Para girar em torno da hipotenusa
aplicamos o Teorema de Pappus:
A área do triângulo é .
A distância do baricentro à hipotenusa é um terço da altura relativa a essa hipotenusa, e essa altura vale . Logo a distância é
A área do triângulo é
A distância do baricentro à hipotenusa é um terço da altura relativa a essa hipotenusa, e essa altura vale
Pelo Teorema de Pappus,
Passo 4
Agora provamos a identidade
Por outro lado,
Somando
pois
. Logo
Passo 5
Supondo
, comparamos:
Como
, segue
.
Além disso,
Além disso,
Portanto
Resposta
A identidade
Para