Dado um triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a,
a) calcule os volumes dos sólidos gerados quando o triângulo gira em torno de b(Vb), em torno de c(Vc) e em torno de a(Va);
b) prove que aVa=bVb+cVc;
c) supondo que b>c, compare Va, Vb e Vc.

Passo 1

Temos um triângulo retângulo cujos catetos medem b e c e a hipotenusa mede a. Ao girar o triângulo em torno de cada lado obtemos sólidos de revolução. Para calcular seus volumes vamos usar:
– Para eixos que coincidem com um cateto, o sólido é um cone.
– Para o eixo na hipotenusa, usaremos o Teorema de Pappus (volume = área da região times distância percorrida pelo baricentro).

Passo 2

Ao girar em torno de b, o triângulo gera um cone de altura b e raio da base igual a c. Logo
Vb=13pi,(raio)^2(a<ura) =13pi,c^2b
Analogamente, girando em torno de c obtemos um cone de altura c e raio b, de modo que
Vc=13pi,b^2c

Passo 3

Para girar em torno da hipotenusa a aplicamos o Teorema de Pappus:
A área do triângulo é tfracb,c2.
A distância do baricentro à hipotenusa é um terço da altura relativa a essa hipotenusa, e essa altura vale tfracb,ca. Logo a distância é
d=13,b,ca
Pelo Teorema de Pappus,
Va=(área)times(2pi d) =b,c2;cdot2pi;b,c3a =pi,b^2c^23,a á

Passo 4

Agora provamos a identidade
aVa =api b^2c^23a =3a^2pi b^2c^2
Por outro lado,
bVb =b13pi c^2b =3pi c^2, cVc =c13pi b^2c =3pi b^2
Somando
bVb+cVc =3pi c^2+3pi b^2 =3(b^2+c^2)pi b^2c^2 =3a^2pi b^2c^2,
pois b^2+c^2=a^2. Logo
aVa =bVb+cVc

Passo 5

Supondo b>c, comparamos:
Vb=13pi c^2b, Vc=13pi b^2c
Como b^2>c^2, segue Vc>Vb.
Além disso,
VaVb =pi b^2c^23api c^2b3 =ba<1, VaVc =ca<1
Portanto
Va<Vb<Vc

Resposta

Vb=dfracpi c^2b3, Vc=dfracpi b^2c3, Va=dfracpi b^2c^23a
A identidade dfracaVa=dfracbVb+dfraccVc vale conforme demonstrado.
Para b>c tem-se Va<Vb<Vc.