Dados M=(x1+x22, y1+y22) e A, demonstre que o ponto
B
está alinhado com A M=M B e A B, e . Ele é chamado o ponto médio do segmento .

Passo 1

O enunciado dá os pontos M=l(x1+x22,,y1+y22r) e e define
Queremos mostrar que , e são colineares e que . Vamos usar geometria analítica, calculando vetores e comprimentos.

Passo 2

Calculemos o vetor AB =(x2-x1,,y2-y1), e o vetor AM =l(x1+x22-x1,,y1+y22-y1r) =l(x2-x12,,y2-y12r) .
AM =tfrac12,(x2-x1,,y2-y1) =tfrac12,AB
Logo,

Passo 3

Como , o ponto está sobre a reta que passa por e . Além disso, o parâmetro está entre e , o que garante que fica entre e , provando a colinearidade e que pertence ao segmento .

Passo 4

Para verificar que AM =l|AMr| =raizl(tfracx2-x12r)^2+l(tfracy2-y12r)^2 =tfrac12raiz(x2-x1)^2+(y2-y1)^2 , usemos a fórmula da distância no plano.
MB =l|MBr| =tfrac12raiz(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
De modo análogo,
AM=MB
Portanto,

Resposta

Mostramos que está colinear com e (pois ) e que . Assim, é o ponto médio do segmento .