está alinhado com e , e . Ele é chamado o ponto médio do segmento .
Passo 1
O enunciado dá os pontos e e define
Queremos mostrar que , e são colineares e que . Vamos usar geometria analítica, calculando vetores e comprimentos.
Passo 2
Calculemos o vetor e o vetor AM.
AB =(x2-x1,,y2-y1),
AM =l(x1+x22-x1,,y1+y22-y1r) =l(x2-x12,,y2-y12r)
Logo,
AM =tfrac12,(x2-x1,,y2-y1) =tfrac12,AB
Passo 3
Como AM=tfrac12,AB, o ponto M está sobre a reta que passa por A e B. Além disso, o parâmetro tfrac12 está entre 0 e 1, o que garante que M fica entre A e B, provando a colinearidade e que M pertence ao segmento AB.
Passo 4
Para verificar que AM=MB, usemos a fórmula da distância no plano.
AM =l|AMr| =raizl(tfracx2-x12r)^2+l(tfracy2-y12r)^2 =tfrac12raiz(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
De modo análogo,
MB =l|MBr| =tfrac12raiz(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
Portanto,
AM=MB
Resposta
Mostramos que M está colinear com A e B (pois AM=tfrac12,AB) e que AM=MB. Assim, M é o ponto médio do segmento AB.
Cálculo - Geraldo Ávila - Cálculo das funções de uma variável - V1 - 7ª Edição - Capítulo 2.3 - Ex. 13