Dados A=(x1, y1) e B=(x2, y2), demonstre que o ponto
M=(x1+x22, y1+y22)
está alinhado com A e B, e A M=M B. Ele é chamado o ponto médio do segmento A B.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(x1,y1) e B=(x2,y2) e define
M=l(x1+x22,,y1+y22r)
Queremos mostrar que A, M e B são colineares e que AM=MB. Vamos usar geometria analítica, calculando vetores e comprimentos.

Passo 2

Calculemos o vetor AB e o vetor AM.
AB =(x2-x1,,y2-y1),
AM =l(x1+x22-x1,,y1+y22-y1r) =l(x2-x12,,y2-y12r)
Logo,
AM =tfrac12,(x2-x1,,y2-y1) =tfrac12,AB

Passo 3

Como AM=tfrac12,AB, o ponto M está sobre a reta que passa por A e B. Além disso, o parâmetro tfrac12 está entre 0 e 1, o que garante que M fica entre A e B, provando a colinearidade e que M pertence ao segmento AB.

Passo 4

Para verificar que AM=MB, usemos a fórmula da distância no plano.
AM =l|AMr| =raizl(tfracx2-x12r)^2+l(tfracy2-y12r)^2 =tfrac12raiz(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
De modo análogo,
MB =l|MBr| =tfrac12raiz(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
Portanto,
AM=MB

Resposta

Mostramos que M está colinear com A e B (pois AM=tfrac12,AB) e que AM=MB. Assim, M é o ponto médio do segmento AB.

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