está alinhado com e , e . Ele é chamado o ponto médio do segmento .
Passo 1
O enunciado dá os pontos e e define
Queremos mostrar que , e são colineares e que . Vamos usar geometria analítica, calculando vetores e comprimentos.
Passo 2
Calculemos o vetor e o vetor AM =l(x1+x22-x1,,y1+y22-y1r) =l(x2-x12,,y2-y12r) .
AM =tfrac12,(x2-x1,,y2-y1) =tfrac12,AB
Logo,
Passo 3
Como , o ponto está sobre a reta que passa por e . Além disso, o parâmetro está entre e , o que garante que fica entre e , provando a colinearidade e que pertence ao segmento .
Passo 4
Para verificar que AM =l|AMr| =raizl(tfracx2-x12r)^2+l(tfracy2-y12r)^2 =tfrac12raiz(x2-x1)^2+(y2-y1)^2 , usemos a fórmula da distância no plano.
MB =l|MBr| =tfrac12raiz(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
De modo análogo,
AM=MB
Portanto,
Resposta
Mostramos que está colinear com e (pois ) e que . Assim, é o ponto médio do segmento .
Cálculo - Geraldo Ávila - Cálculo das funções de uma variável - V1 - 7ª Edição - Capítulo 2.3 - Ex. 13