a) Defina a probabilidade de um evento quando todos os resultados são igualmente prováveis.
b) Qual é a probabilidade de você selecionar seis números vencedores em uma loteria se os seis diferentes números são escolhidos a partir dos primeiros 50 números inteiros positivos?

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na primeira, pede a definição de probabilidade quando todos os resultados são igualmente prováveis. Na segunda, pede a probabilidade de “acertar” os seis números sorteados em uma loteria em que você escolhe seis números dentre os primeiros 50 inteiros positivos. O conteúdo envolve a definição de probabilidade uniforme e a contagem de casos usando coeficiente binomial.

Passo 2

Quando todos os resultados de um espaço amostral \Omega têm a mesma chance de ocorrer, a probabilidade de um evento E\subseteq\Omega é dada pela razão entre o número de casos favoráveis \lvert E\rvert e o número total de casos \lvert \Omega\rvert:
\Pr(E)=\frac{\lvert E\rvert}{\lvert \Omega\rvert}.

Passo 3

No problema da loteria, cada aposta corresponde a um subconjunto de 6 números dentre os 50 disponíveis. Portanto o número total de apostas possíveis é
\bigl\lvert \Omega\bigr\rvert =\binom{50}{6} =\frac{50!}{6!\,44!} =15\,890\,700.
O evento E de “acertar os seis números” ocorre apenas se você escolher exatamente o mesmo conjunto de 6 números que será sorteado, ou seja, há \lvert E\rvert=1 caso favorável.

Passo 4

Aplicando a definição de probabilidade uniforme:
\Pr(\text{acertar os 6 números}) =\frac{\lvert E\rvert}{\lvert \Omega\rvert} =\frac{1}{\binom{50}{6}}.ú

Resposta

(a) \Pr(E)=\dfrac{\lvert E\rvert}{\lvert \Omega\rvert}, quando todos os resultados são igualmente prováveis.
(b) \displaystyle \Pr=\frac{1}{\binom{50}{6}}\approx6{,}29\times10^{-8}.