Demonstrar que, se n=a b c+1, então o mdc(n, a)=mdc(n, b)=mdc(n, c)=1.

Passo 1

O enunciado diz que n = a b c + 1 e pede para mostrar que gcd(n,a)=gcd(n,b)=gcd(n,c)=1. O conteúdo principal é a propriedade de que todo divisor comum a dois números também divide qualquer combinação linear desses números.

Passo 2

Seja d = gcd(n,a). Então dmid n e dmid a. Note que
n - b ccdot a ;=;(a b c + 1) - b c,a ;=;1
Como d divide n e a, ele também divide n - b c,a = 1. Logo dmid1 e, como só o 1 (ou -1) divide 1, temos d=1. Portanto
gcd(n,a)=1

Passo 3

O mesmo argumento vale trocando a por b ou por c, pois
n - a ccdot b =1 e n - a bcdot c =1,
levando a gcd(n,b)=1 e gcd(n,c)=1.

Resposta

gcd(n,a)=gcd(n,b)=gcd(n,c)=1.