Demonstre que [alpha][beta] <=[alpha beta] <=[alpha] [beta]+[alpha] +[beta], para alpha>0, beta>0.

Passo 1

O enunciado pede para provar as desigualdades envolvendo o piso (parte inteira) de alpha, beta e de seu produto alphabeta, isto é,
[alpha],[beta];<=;[alphabeta];<=;[alpha],[beta];+;[alpha];+;[beta],
para alpha>0 e beta>0.
O conteúdo principal é a definição e as propriedades da função piso: para todo real x,
[x]<= x< [x]+1
Vamos usar essa definição decompondo alpha e beta em parte inteira e parte fracionária.

Passo 2

Sejam
m = [alpha], a = alpha - m,com 0<= a<1,
n = [beta], b = beta - n,com 0<= b<1
Então
alpha = m + a, beta = n + b
Aqui m,n são inteiros não-negativos e a,b são as partes fracionárias.

Passo 3

Calculemos alphabeta:
alphabeta = (m+a)(n+b) = mn ;+; m,b ;+; n,a ;+; a,b
Como a>=0, b>=0, m,n>=0, temos todas as parcelas não negativas, logo
mn <= alphabeta
Como mn é inteiro, vale
[alphabeta]>= [,mn,] = mn = [alpha],[beta]
Isto estabelece a primeira desigualdade
[alpha],[beta]<= [alphabeta]

Passo 4

Para a segunda desigualdade basta um majorante de alphabeta. Observando que a<1 e b<1
m,b < m, n,a < n, a,b < 1
Somando essas desigualdades a mn resulta
alphabeta = mn + m b + n a + a b < mn + m + n + 1
Então
alphabeta < mn + m + n + 1 = [alpha],[beta] + [alpha] + [beta] + 1
Aplicando o piso segue
[alphabeta]<= [,mn + m + n,] = mn + m + n = [alpha],[beta] + [alpha] + [beta]
Isso prova a segunda desigualdade
[alphabeta]<= [alpha],[beta] + [alpha] + [beta]

Resposta

[alpha],[beta];<=;[alphabeta];<=;[alpha],[beta];+;[alpha];+;[beta]