Demonstre que
, para
.
Passo 1
O enunciado pede para provar as desigualdades envolvendo o piso (parte inteira) de
,
e de seu produto
, isto é,
para
e
.
O conteúdo principal é a definição e as propriedades da função piso: para todo real ,
O conteúdo principal é a definição e as propriedades da função piso: para todo real
Vamos usar essa definição decompondo
e
em parte inteira e parte fracionária.
Passo 2
Sejam
Então
Aqui
são inteiros não-negativos e
são as partes fracionárias.
Passo 3
Calculemos
:
Como
,
,
, temos todas as parcelas não negativas, logo
Como
é inteiro, vale
Isto estabelece a primeira desigualdade
Passo 4
Para a segunda desigualdade basta um majorante de
. Observando que
e
dá
Somando essas desigualdades a
resulta
Então
Aplicando o piso segue
Isso prova a segunda desigualdade