72 Demonstre que
(\cos x+\operatorname{sen} x)^{2}=1+\operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica
(\cos x + \sin x)^{2} = 1 + \sin(2x).
O conteúdo envolvido são as identidades fundamentais de trigonometria: a fórmula do quadrado da soma, a identidade pitagórica e a fórmula do seno do ângulo duplo.

Passo 2

Começamos expandindo o quadrado da soma usando
(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}.
Aqui a=\cos x e b=\sin x, então
(\cos x + \sin x)^{2} = \cos^{2}x + 2\,\cos x\,\sin x + \sin^{2}x.

Passo 3

Aplicamos agora duas identidades conhecidas:
  1. Identidade pitagórica:
\cos^{2}x + \sin^{2}x = 1.
  1. Fórmula do seno duplo:
\sin(2x) = 2\,\sin x\,\cos x.
Substituindo essas expressões na expansão, obtemos
\cos^{2}x + 2\,\cos x\,\sin x + \sin^{2}x = (\cos^{2}x + \sin^{2}x) + 2\,\sin x\,\cos x = 1 + \sin(2x).

Resposta

(\cos x + \sin x)^{2} = 1 + \sin(2x).