24.2 Demonstre:
(a) a fórmula da soma para cossenos; (b) as fórmulas de cofunções para senos e cossenos.
(a) Comece com a fórmula da diferença para cossenos e substitua v por -v.
cos (u-v) & =cos u cos v+sen u sen v cos [u-(-v)] & =cos u cos (-v)+sen u sen(-v)
Agora aplique as identidades para negativos, cos (-v)=cos v e sen(-v)=-sen v e simplifique:
& cos (u+v)=cos u cos v+sen u(-sen v) & cos (u+v)=cos u cos v-sen u sen v
(b) Use a fórmula da diferença para cossenos, com u=pi2 e v=theta :
cos (pi2-theta)=cos pi2 cos theta+sen pi2 sen theta
Como cos (pi / 2)=0 e sen(pi / 2)=1, segue-se que
cos (pi2-theta)=0 cos theta+1 sen theta=sen theta
Agora substitua theta por pi / 2-theta :
cos [pi2-(pi2-theta)]=sen(pi2-theta)
Simplificando, tem-se
cos theta=sen(pi2-theta)

Passo 1

O enunciado nos pede dois resultados de trigonometria elementar. Primeiro (a) provar a fórmula de soma de cossenos
cos(u+v)=cos ucos v-sin usin v
a partir da fórmula de diferença. Depois (b) demonstrar as fórmulas de cofunções que ligam seno e cosseno complementares, ou seja
cosl(tfracpi2-thetar)=sintheta e sinl(tfracpi2-thetar)=costheta

Passo 2

Começamos da fórmula da diferença de cossenos, que é uma identidade padrão:
cos(u-v)=cos ucos v+sin usin v

Passo 3

Para obter a soma, substituímos v por -v em cos(u-v) e usamos que
cos(-v)=cos v e sin(-v)=-sin v
Assim,
cosl(u-(-v)r) =cos ucos(-v)+sin usin(-v) =cos ucos v+sin ul(-sin vr)
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cos(u+v)=cos ucos v-sin usin v

Passo 4

Agora para a cofunção do cosseno, aplicamos a fórmula de diferença com u=tfracpi2 e v=theta:
cosl(tfracpi2-thetar) =cosl(tfracpi2r)costheta+sinl(tfracpi2r)sintheta
Como cos(tfracpi2)=0 e sin(tfracpi2)=1, segue que
cosl(tfracpi2-thetar)=0cdotcostheta+1cdotsintheta =sintheta

Passo 5

Para obter a cofunção do seno, basta trocar theta por tfracpi2-theta na identidade anterior ou usar diretamente que
sin x=cosl(tfracpi2-xr)
Então, com x=theta, temos
sinl(tfracpi2-thetar)=costheta

Resposta

(a) cos(u+v)=cos ucos v-sin usin v
(b) cosl(tfracpi2-thetar)=sintheta e sinl(tfracpi2-thetar)=costheta