24.2 Demonstre:
(a) a fórmula da soma para cossenos; (b) as fórmulas de cofunções para senos e cossenos.
(a) Comece com a fórmula da diferença para cossenos e substitua
por
.
Agora aplique as identidades para negativos,
e
e simplifique:
(b) Use a fórmula da diferença para cossenos,
e
:
Como
e
, segue-se que
Agora substitua
por
:
Simplificando, tem-se
(a) a fórmula da soma para cossenos; (b) as fórmulas de cofunções para senos e cossenos.
(a) Comece com a fórmula da diferença para cossenos e substitua
Passo 1
O enunciado nos pede dois resultados de trigonometria elementar. Primeiro (a) provar a fórmula de soma de cossenos
a partir da fórmula de diferença. Depois (b) demonstrar as fórmulas de cofunções que ligam seno e cosseno complementares, ou seja
Passo 2
Começamos da fórmula da diferença de cossenos, que é uma identidade padrão:
Passo 3
Para obter a soma, substituímos
por
em
e usamos que
Assim,
logo
Passo 4
Agora para a cofunção do cosseno, aplicamos a fórmula de diferença com
e
:
Como
e
, segue que
Passo 5
Para obter a cofunção do seno, basta trocar
por
na identidade anterior ou usar diretamente que
Então, com
, temos
Resposta
(a)
(b) e
(b)