24.22 Demonstre as fórmulas da soma para seno e tangente.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar as fórmulas de soma para seno e tangente, isto é, encontrar expressões para sin(a+b) e tan(a+b). O conteúdo aqui são identidades trigonométricas, e vamos usar a fórmula de Euler para funções complexas como ferramenta para derivar essas somas.

Passo 2

Lembrando a fórmula de Euler, para todo ângulo theta vale:
e^itheta = costheta + i,sintheta
Essa relação nos permite converter soma de ângulos em produto de exponenciais.

Passo 3

Aplicando Euler a a+b temos
e^i(a+b) = e^ia,e^ib = (cos a + isin a),(cos b + isin b)
Fazendo a multiplicação:
(cos a + isin a)(cos b + isin b) =cos acos b - sin asin b ;+; il(sin acos b + cos asin br)
Como o lado esquerdo também é cos(a+b)+isin(a+b), igualamos parte real e parte imaginária:
cos(a+b)=cos acos b-sin asin b,
sin(a+b)=sin acos b+cos asin b

Passo 4

Para obter a fórmula da tangente, usamos
tan(a+b)=sin(a+b)cos(a+b) =sin acos b+cos asin bcos acos b-sin asin b
Dividindo numerador e denominador por cos a,cos b, fica
tan(a+b) =sin acos a+sin bcos b1-sin acos a,sin bcos b =tan a+tan b1-tan a,tan b

Resposta

sin(a+b)=sin a,cos b+cos a,sin b,
tan(a+b)=tan a+tan b1-tan a,tan b