24.22 Demonstre as fórmulas da soma para seno e tangente.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar as fórmulas de soma para seno e tangente, isto é, encontrar expressões para
e
. O conteúdo aqui são identidades trigonométricas, e vamos usar a fórmula de Euler para funções complexas como ferramenta para derivar essas somas.
Passo 2
Lembrando a fórmula de Euler, para todo ângulo
vale:
Essa relação nos permite converter soma de ângulos em produto de exponenciais.
Passo 3
Aplicando Euler a
temos
Fazendo a multiplicação:
Como o lado esquerdo também é
, igualamos parte real e parte imaginária:
Passo 4
Para obter a fórmula da tangente, usamos
Dividindo numerador e denominador por
, fica