18.7 Demonstre as relações entre funções logarítmica e exponencial.
(a) Se y=log a x, então x=a^y. Logo, x=a^y=a^log a x.
(b) Analogamente, trocando as letras, se x=log a y, então, y=a^x. Logo, x=log a y=log a a^x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que função logarítmica e exponencial são inversas entre si, isto é, que
a^loga x=x
e
logal(a^xr)=x
Para isso, vamos usar a definição de logaritmo:
loga x é o expoente y tal que a^y = x.

Passo 2

Começando por (a), suponha que
y = loga x
Pela definição de logaritmo, isso significa que
a^y = x
Como y=loga x, podemos reescrever a^y como
a^loga x = x,
mostrando a relação desejada.

Passo 3

Para (b), trocamos os papéis de x e y. Suponha
x = loga y
Então, pela definição de logaritmo,
a^x = y
Agora, aplicando loga em ambos os lados de y=a^x, obtemos
logal(a^xr) = loga y = x,
que é a segunda relação.

Resposta

(a) ;a^loga x = x
(b) ;logal(a^xr) = x

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