Demonstre o Teorema 3, que afirma que o elemento neutro da multiplicação dos números reais é único.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, nos números reais, se existe um elemento neutro da multiplicação então ele é único. O que vamos usar são os axiomas de corpo (ou de campo) que garantem a existência de um elemento neutro multiplicativo, digamos
, tal que para todo real
vale
Para provar unicidade, vamos supor que existam dois elementos neutros e mostrar que eles coincidem.
Passo 2
Suponha que
e
sejam ambos elementos neutros da multiplicação em
. Então, pelas definições:
- Como
é neutro, para todo vale . - Como
é neutro, para todo vale .
Passo 3
Em particular, podemos aplicar essas propriedades ao próprio
. Usando que
é neutro com
, obtemos
Passo 4
Do outro lado, aplicamos que
é neutro com
, e obtemos
Como a multiplicação em
é comutativa,
. Logo
Resposta
O elemento neutro da multiplicação em
é único.