Demonstre o Teorema 3, que afirma que o elemento neutro da multiplicação dos números reais é único.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, nos números reais, se existe um elemento neutro da multiplicação então ele é único. O que vamos usar são os axiomas de corpo (ou de campo) que garantem a existência de um elemento neutro multiplicativo, digamos e, tal que para todo real a vale
e \cdot a = a \quad\text{e}\quad a \cdot e = a.
Para provar unicidade, vamos supor que existam dois elementos neutros e mostrar que eles coincidem.

Passo 2

Suponha que e e e' sejam ambos elementos neutros da multiplicação em \mathbb{R}. Então, pelas definições:
  1. Como e é neutro, para todo a vale e\cdot a = a.
  2. Como e' é neutro, para todo a vale e'\cdot a = a.

Passo 3

Em particular, podemos aplicar essas propriedades ao próprio e'. Usando que e é neutro com a = e', obtemos
e \cdot e' = e'.

Passo 4

Do outro lado, aplicamos que e' é neutro com a = e, e obtemos
e' \cdot e = e.
Como a multiplicação em \mathbb{R} é comutativa, e'\cdot e = e\cdot e'. Logo
e' = e \cdot e' = e.

Resposta

O elemento neutro da multiplicação em \mathbb{R} é único.