Demonstre, usando o princípio da indução finita.
6 mid n(n+1)(n+2), forall n in N.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando o princípio da indução finita, que
6 mid n(n+1)(n+2), forall n in N
Vamos usar o esquema padrão de indução: verificar o caso base e depois assumir para n=k e provar para n=k+1.

Passo 2

Verificamos o caso base n=1. Calculando,
1cdot 2cdot 3 = 6,
logo 6 mid 1cdot2cdot3. O caso base está ok.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum kinN valha
6 mid k(k+1)(k+2)
Isso significa que existe minZ tal que
k(k+1)(k+2) = 6m

Passo 4

Agora mostramos que vale para n=k+1. Observe que
(k+1)(k+2)(k+3) = k(k+1)(k+2) ;+; 3,(k+1)(k+2)
Pela hipótese de indução, a primeira parcela é 6m. Na segunda, entre k+1 e k+2 há um número par, então
2 mid (k+1)(k+2) Longrightarrow 6 mid 3,(k+1)(k+2)
Como a soma de múltiplos de 6 é múltiplo de 6, temos
6 mid (k+1)(k+2)(k+3)

Resposta

Portanto, por indução finita, concluímos que 6 mid n(n+1)(n+2) para todo ninN.

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