Demonstre, usando o princípio da indução finita.
2 mid(n^2+n), forall n in N.

Passo 1

Resumo: queremos provar, por indução finita, que para todo ninN o número n^2+n é divisível por 2. O conteúdo é o princípio da indução, que exige verificar uma base (caso inicial) e mostrar que, se a propriedade vale para um k, então vale para k+1.

Passo 2

Base ( n=1):
1^2 + 1 = 1 + 1 = 2,
e 2 é claramente múltiplo de 2. Logo, a propriedade vale em n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que exista kinN tal que
2 mid (k^2 + k)
Isto é, k^2 + k = 2m para algum minN.

Passo 4

Passo indutivo: devemos mostrar que
2 mid l((k+1)^2 + (k+1)r)
Observe que
(k+1)^2 + (k+1) = k^2 + 2k + 1 + k + 1 = (k^2 + k) + 2(k+1)
Pela hipótese de indução, k^2 + k = 2m. Então
(k+1)^2 + (k+1) = 2m + 2(k+1) = 2l(m + k + 1r),
que é múltiplo de 2.

Resposta

Concluímos, pelo princípio da indução finita, que 2mid(n^2+n) para todo ninN.