O que é a derivada de uma função f ? Como seu domínio está relacionado com o domínio da função f ? Dê exemplos.
Passo 1
O enunciado pergunta o que é a derivada de uma função f, como o domínio de f' se relaciona com o domínio de f e pede exemplos. O conteúdo envolve cálculo diferencial: definição formal de derivada, existência de limite e relação entre os domínios de f e de sua derivada.
Passo 2
A derivada de uma função f num ponto x é o limite do quociente incremental sempre que esse limite existir. Formalmente, definimos
f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h},
quando esse limite existe como número finito. Esse processo mede a taxa de variação instantânea de f em x.
Passo 3
O domínio de f' é constituído pelos pontos em que o limite acima existe. Em particular, cada x em \dom(f') deve pertencer a \dom(f), mas nem todo ponto de \dom(f) garante existência de derivada. Assim
\dom(f')\subseteq \dom(f).
Em pontos de contorno de \dom(f), às vezes consideramos derivadas laterais, mas mesmo assim permanecem subsetores de \dom(f).
Passo 4
Exemplos:
Seja f(x)=x^2\). Aqui \(\dom(f)=\mathbb R\) e
\[f'(x)=2x,
cujo domínio é \mathbb R. Logo \dom(f')=\dom(f)=\mathbb R.
2. Seja f(x)=|x|. Tem \dom(f)=\mathbb R. O cálculo dá
mas f'(0)\] não existe pois o limite do quociente incremental à direita é \(1 e à esquerda é -1. Logo
\dom(f')=\mathbb R\setminus\{0\}\subsetneq\dom(f).
3. Seja f(x)=\sqrt{x}. Tem \dom(f)=[0,\infty). Calcula-se
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},
válido apenas para x>0. Assim \dom(f')=(0,\infty)\subsetneq[0,\infty)=\dom(f).
Resposta
A derivada de f em x é o limite
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
sempre que esse limite exista. O domínio de f' é o conjunto dos pontos de \dom(f) em que esse limite existe, de modo que \dom(f')\subseteq\dom(f). Como vimos, para f(x)=x^2 tem-se domínios iguais, enquanto para f(x)=|x| ou f(x)=\sqrt{x} o domínio de f' é estritamente menor que o de f.
Cálculo - Angela dos Santos e Waldecir Bianchini - Aprendendo Cálculo com Maple-Cálculo de Uma Variável - 1ª Edição - Capítulo 2.Questões de Revisão - Ex. 1