5.10.3 Derive novamente as expansões assintóticas de &Ci(x) e &si(x) por repetida integração por partes. Sugestão: &Ci(x)+i si(x)=-integralx^infty e^i tt d t.

Passo 1

O enunciado pede para obter, por integração por partes repetida, as expansões assintóticas de e de quando Ci(x)+i,si(x)=-integralx^inftye^itt,dt . A sugestão é usar a representação
Trata-se de aplicar integração por partes em

e iterar para gerar termos de ordem .

Passo 2

Defina
An(x)=integralx^inftye^itt^n,dt
Fazendo uma vez integração por partes em J(x)= -l[e^iti,tr]x^infty ;+;integralx^inftye^iti,t^2,dt =e^ixi,x-1i,A2(x) , com , , obtém-se

Passo 3

Para An(x) =e^ixi,x^n-ni,An+1(x) , repita a integração por partes em J(x)sim e^ixl(-ix+1x^2+2,ix^3+6x^4+cdots+ (-1)^k-1(k-1)!,i^kx^k+cdotsr), com , . Isso dá a relação de recorrência
Iterando esse passo vezes, fica
com resto .

Passo 4

Agora escreva J(x)=Ci(x)+i,si(x) e separe parte real e parte imaginária:
Para os quatro primeiros termos, por exemplo, têm-se
J(x)sim -i,e^ixx+e^ixx^2+2,i,e^ixx^3+6,e^ixx^4+cdots
Extraindo Ci(x)sim sin xx+cos xx^2-2,sin xx^3+6,cos xx^4-cdots, e si(x)sim -cos xx+sin xx^2+2,cos xx^3+6,sin xx^4+cdots obtemos

Passo 5

Reescrevendo em forma de somatórios de fatoriais, as fórmulas gerais são

Resposta