5.10.3 Derive novamente as expansões assintóticas de \&\operatorname{Ci}(x) e \&\operatorname{si}(x) por repetida integração por partes. Sugestão: \&\operatorname{Ci}(x)+i \operatorname{si}(x)=-\int_{x}^{\infty} \frac{e^{i t}}{t} d t.

Passo 1

O enunciado pede para obter, por integração por partes repetida, as expansões assintóticas de \Ci(x) e de \si(x) quando x\to\infty. A sugestão é usar a representação
\Ci(x)+i\,\si(x)=-\int_{x}^{\infty}\frac{e^{it}}{t}\,dt.
Trata-se de aplicar integração por partes em
\displaystyle J(x)=-\int_{x}^{\infty}t^{-1}e^{it}\,dt
e iterar para gerar termos de ordem 1/x^n.

Passo 2

Defina
A_n(x)=\int_{x}^{\infty}\frac{e^{it}}{t^n}\,dt.
Fazendo uma vez integração por partes em J(x)=-A_1(x), com u=t^{-1}, dv=e^{it}dt, obtém-se
J(x)= -\Bigl[\frac{e^{it}}{i\,t}\Bigr]_{x}^{\infty} \;+\;\int_{x}^{\infty}\frac{e^{it}}{i\,t^2}\,dt =\frac{e^{ix}}{i\,x}-\frac{1}{i}\,A_2(x).

Passo 3

Para n\ge2, repita a integração por partes em A_n(x) com u=t^{-n}, dv=e^{it}dt. Isso dá a relação de recorrência
A_n(x) =\frac{e^{ix}}{i\,x^n}-\frac{n}{i}\,A_{n+1}(x).
Iterando esse passo N vezes, fica
J(x)\sim e^{ix}\Bigl(-\frac{i}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{2\,i}{x^3}+\frac{6}{x^4}+\cdots+ \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!\,i^k}{x^k}+\cdots\Bigr),
com resto O(1/x^{N+1}).

Passo 4

Agora escreva e^{ix}=\cos x+i\sin x e separe parte real e parte imaginária:
J(x)=\Ci(x)+i\,\si(x).
Para os quatro primeiros termos, por exemplo, têm-se
J(x)\sim -\frac{i\,e^{ix}}{x}+\frac{e^{ix}}{x^2}+\frac{2\,i\,e^{ix}}{x^3}+\frac{6\,e^{ix}}{x^4}+\cdots.
Extraindo \Re J e \Im J obtemos
\Ci(x)\sim \frac{\sin x}{x}+\frac{\cos x}{x^2}-\frac{2\,\sin x}{x^3}+\frac{6\,\cos x}{x^4}-\cdots,
\si(x)\sim -\frac{\cos x}{x}+\frac{\sin x}{x^2}+\frac{2\,\cos x}{x^3}+\frac{6\,\sin x}{x^4}+\cdots.

Passo 5

Reescrevendo em forma de somatórios de fatoriais, as fórmulas gerais são
\Ci(x)\sim \frac{\sin x}{x}\sum_{k=0}^{N}(-1)^k\frac{(2k)!}{x^{2k}} \;-\;\frac{\cos x}{x^2}\sum_{k=0}^{N}(-1)^k\frac{(2k+1)!}{x^{2k}} \;+\;O\!\bigl(x^{-2N-1}\bigr),
\si(x)\sim -\,\frac{\cos x}{x}\sum_{k=0}^{N}(-1)^k\frac{(2k)!}{x^{2k}} \;-\;\frac{\sin x}{x^2}\sum_{k=0}^{N}(-1)^k\frac{(2k+1)!}{x^{2k}} \;+\;O\!\bigl(x^{-2N-1}\bigr).

Resposta

\boxed{ \begin{aligned} \Ci(x)&\sim \frac{\sin x}{x}\Bigl(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\cdots\Bigr) \;-\;\frac{\cos x}{x^2}\Bigl(1-\frac{3!}{x^2}+\frac{5!}{x^4}-\cdots\Bigr), \\\ \si(x)&\sim -\,\frac{\cos x}{x}\Bigl(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\cdots\Bigr) \;-\;\frac{\sin x}{x^2}\Bigl(1-\frac{3!}{x^2}+\frac{5!}{x^4}-\cdots\Bigr). \end{aligned} }

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