5.10.3 Derive novamente as expansões assintóticas de
e
por repetida integração por partes. Sugestão:
.
Passo 1
O enunciado pede para obter, por integração por partes repetida, as expansões assintóticas de e de quando
. A sugestão é usar a representação
Trata-se de aplicar integração por partes em
e iterar para gerar termos de ordem .
e iterar para gerar termos de ordem
Passo 2
Defina
Fazendo uma vez integração por partes em
, com
,
, obtém-se
Passo 3
Para
, repita a integração por partes em
com
,
. Isso dá a relação de recorrência
Iterando esse passo
vezes, fica
com resto
.
Passo 4
Agora escreva
e separe parte real e parte imaginária:
Para os quatro primeiros termos, por exemplo, têm-se
Extraindo
e
obtemos
Passo 5
Reescrevendo em forma de somatórios de fatoriais, as fórmulas gerais são